Kalkulator transformasi Laplace songsang (pecahan separa)
Masukkan nilai anda. Jawapan dan penyelesaian lengkap dikemas kini semasa anda menaip.
Keputusan
Cari transformasi Laplace songsang bagi fungsi nisbah F(s) = N(s)/D(s). Masukkan pekali pengangka dan penyebut, kuasa s tertinggi dahulu. Kalkulator membatalkan faktor sepunya, membahagi pecahan tak wajar, mencari kutub, mengira setiap pekali pecahan separa (bagi kutub berbeza, berulang dan kompleks) dan menulis f(t) sebagai hasil tambah eksponen, kuasa t, sin dan kos.
Penyelesaian langkah demi langkah
Tulis F(s) sebagai nisbah polinomial
Kutub: punca penyebut
Pecahan separa
Pasangan transformasi yang digunakan
Transformasi Laplace songsang
Cara mencari transformasi Laplace songsang dengan pecahan separa
- Pastikan F(s) wajar: jika darjah pengangka tidak lebih rendah daripada darjah penyebut, bahagi dahulu. Bahagian polinomial memberikan impuls δ(t), δ′(t), dan seterusnya.
- Faktorkan penyebut untuk mencari kutub: kutub nyata a memberikan faktor (s − a), pasangan kompleks a ± bj memberikan (s − a)² + b².
- Tulis F(s) sebagai hasil tambah pecahan separa dan cari pekalinya. Bagi kutub mudah, A = [(s − a)·F(s)] pada s = a (petua tutup); kutub berulang memerlukan terbitan.
- Transformasikan setiap sebutan dengan jadual: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! dan (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Tambahkan sebutan untuk mendapat f(t) bagi t ≥ 0.
Soalan dan jawapan
Bagaimanakah saya memasukkan F(s)?
Taip pekali setiap polinomial dari kuasa s tertinggi ke bawah, dipisahkan dengan ruang, dengan sifar bagi kuasa yang tiada. (s + 3)/(s² + 3s + 2) ialah pengangka 1 3 dan penyebut 1 3 2; 1/(s³ + 4s) ialah pengangka 1 dan penyebut 1 0 4 0. Pecahan seperti 1/2 dan perpuluhan dibenarkan.
Apakah kaedah tutup?
Bagi kutub mudah pada s = a, darabkan F(s) dengan (s − a), batalkan, dan gantikan s = a. Bagi F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) itu memberikan 2/1 = 2 pada s = −1 dan 1/(−1) = −1 pada s = −2, jadi f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Bagaimanakah kutub kompleks dikendalikan?
Sepasang kutub a ± bj memberikan sebutan (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), yang songsangnya ialah e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Kalkulator mencari B dan C daripada pekali kompleks A pada a + bj: B = 2·Re A dan C = −2·Im A.
Bagaimana jika darjah pengangka terlalu tinggi?
Maka F(s) tak wajar. Pembahagian polinomial memberikan F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Polinomial Q(s) ditransformasikan menjadi impuls: pemalar c memberikan c·δ(t), c·s memberikan c·δ′(t), dan seterusnya. Bahagian wajar R(s)/D(s) dikembangkan dalam pecahan separa seperti biasa.
Setepat manakah keputusannya?
Faktor sepunya dan faktor berulang dikesan dengan tepat, dengan pecahan. Punca dan pekali kemudian dikira secara berangka kepada kira-kira 14 digit dan ditunjukkan kepada 4 angka bererti, jadi kutub tak nisbah, seperti kutub s² + s + 1, muncul sebagai perpuluhan.
Mengapakah f(t) hanya sah untuk t ≥ 0?
Transformasi Laplace satu sisi hanya menggunakan nilai f untuk t ≥ 0. Secara tegasnya, keputusannya ialah f(t)·u(t), dengan u ialah fungsi langkah unit, jadi f(t) = 0 untuk t < 0.
Cuba sendiri
Berlatih Transformasi Laplace
Kalkulator memberikan jawapan. Dalam peperiksaan anda memerlukan kaedah: berlatihlah dengan soalan baharu, petunjuk dan penyelesaian lengkap.