Matematik Kejuruteraan 2: soalan latihan dan soalan peperiksaan

Kursus matematik kedua untuk jurutera: persamaan pembezaan peringkat kedua, matriks dan vektor, teknik pengamiran dengan isi padu kisaran, terbitan separa dan kamiran berganda, siri dan polinomial Taylor, transformasi Laplace dan konvolusi. Inilah alat yang menjadi asas kursus litar, getaran dan kawalan.

Berlatih kursus ini secara percumaBerlatih kursus iniAmbil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Pek ulang kaji kilat (PDF)Lembaran formula, langkah kaedah dan soalan latihan dengan penyelesaian penuh, sedia untuk dicetak.

Topik dalam kursus ini

  1. Persamaan pembezaanpertumbuhan dan pereputan eksponen · Hukum penyejukan Newton · linear peringkat pertamapengiraan
  2. Matriks & penentupenentu 2×2 · 3×3 dan hasil darab · nilai eigen dan sistempengiraan
  3. Vektor: hasil darab titik & silangmagnitud dan komponen · hasil darab titik · hasil darab silang dan momenpengiraan
  4. Kamiranpolinomial · eksponen, log dan penggantian · luas antara lengkungpengiraan
  5. Kalkulus multipemboleh ubahterbitan separa dan kamiran berganda · kecerunan, satah tangen dan petua rantai · titik genting dan kamiran ke atas rantaupengiraan
  6. Jujukan & sirisiri aritmetik dan geometri · penumpuan dan siri kuasa · polinomial Taylor dan Maclaurinpengiraan
  7. Transformasi Laplacepasangan jadual dan teorem nilai · transformasi songsang dengan pecahan separa · PBS dan fungsi pindahpengiraan
  8. Konvolusi & sistem LTIkonvolusi diskret · konvolusi selanjar · sambutan impuls dan siri Fourierpengiraan

Tip peperiksaan untuk Matematik Kejuruteraan 2

  • Untuk PDB linear, tulis persamaan ciri dahulu: puncanya menentukan bentuk penyelesaian.
  • Pilih u dalam pengamiran bahagian demi bahagian sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan.
  • Gunakan jadual Laplace dan pecahan separa dan bukannya mengamirkan transformasi itu secara manual.

Contoh penyelesaian

Persamaan pembezaanMudah
rr² + br + c?

Bagi persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari punca r persamaan ciri yang paling hampir dengan sifar. Ia menentukan betapa perlahannya penyelesaian susut.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Cari nilai r

Tunjukkan petunjuk
  1. Gantikan y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Faktorkannya atau gunakan formula kuadratik.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Persamaan cirian

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Punca

r = −1, r = −3
paling hampir dengan sifar: r = −1

Jawapan

r = −1

Penyelesaian am ialah y = A·e−1t + B·e−3t.

Matriks & penentuSederhana
A =−153−5−1−3−513

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Cari nilai det A

Tunjukkan petunjuk
  1. Kembangkan sepanjang baris pertama dengan tanda + − +.
  2. Setiap sebutan ialah satu unsur didarab penentu 2×2 yang tinggal apabila anda membuang baris dan lajurnya.
  3. minor: 0, −30, −10.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Pengembangan kofaktor

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Jawapan

det A = 120

Cara latihan berfungsi

  • “Berlatih kursus ini” mencampurkan soalan daripada semua topiknya, seperti peperiksaan sebenar.
  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Peperiksaan percubaan adalah bermasa dan tanpa petunjuk, dan anda mendapat skor serta semakan penuh pada akhirnya.

Kalkulator untuk kursus ini

Kalkulator transformasi Laplace songsang (pecahan separa)Kalkulator transformasi LaplaceKalkulator penentu dan songsangan matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenKalkulator separuh hayat dan pereputan eksponenPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)Kalkulator kamiran (tentu dan tak tentu)

Kursus berkaitan

Matematik KejuruteraanKalkulus 2Kaedah BerangkaSoalan latihan AP CalculusPersamaan PembezaanIsyarat dan SistemKalkulus 1Statik
Berlatih kursus ini secara percumaBerlatih kursus iniAmbil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.