Konvolusi & sistem LTI: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Konvolusi & sistem LTI percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: konvolusi diskret, konvolusi selanjar, sambutan impuls dan siri Fourier.

Soalan latihan percumaMudah
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Jujukan x[n] = {−3, 2, 4, 3} dan h[n] = {1, 1, 1} kedua-duanya bermula pada n = 0. Cari sampel y[1] bagi konvolusi y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Soalan seterusnya →
Berlatih Konvolusi & sistem LTI secara percumaBerlatih Konvolusi & sistem LTI sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahkonvolusi diskret
  2. Sederhanakonvolusi selanjar
  3. Sukarsambutan impuls dan siri Fourier

Cara menyelesaikan soalan Konvolusi & sistem LTI

  1. Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
  2. Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
  3. Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
  4. Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.

Kesilapan lazim

  • Mendarab kedua-dua isyarat sampel demi sampel dan bukannya mengkonvolusikannya.
  • Menganjakkan h tanpa membalikkannya, yang memberikan korelasi.
  • Menggunakan formula sambutan langkah apabila sambutan impuls ditanya, atau sebaliknya.
  • Salah mengira nombor harmonik: komponen pada k/T ialah harmonik k.

Formula utama

Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|

Pelajari Konvolusi & sistem LTI dari awal

Sebelum ini: Kamiran

1Apa yang dilakukan konvolusi

Sistem linear tak varian masa (LTI) diperihalkan sepenuhnya oleh sambutan impuls h: output yang diberikannya apabila inputnya ialah satu sentakan pendek.

Mana-mana input boleh dilihat sebagai barisan sentakan yang diskalakan dan dianjakkan. Setiap sentakan menghasilkan salinan h yang diskalakan dan dianjakkan, dan outputnya ialah hasil tambah semua salinan itu. Hasil tambah itu ialah konvolusi y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Konvolusi muncul di mana-mana sistem mempunyai ingatan: penapis, penderia, struktur, litar dan penyebaran isyarat dari semasa ke semasa.

Semakan kendiri Satu sistem mempunyai h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Inputnya ialah satu sampel x[0] = 2. Apakah outputnya?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Jawapan: y[n] = {2, 6}. Satu sentakan setinggi 2 memberikan satu salinan h yang diskalakan dengan 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Konvolusi mengekalkan bentuk h; ia tidak menambah sampel-sampel itu.

2Konvolusi diskret langkah demi langkah

Bagi jujukan, konvolusi ialah hasil tambah:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Balikkan h: h[−k] ialah h yang dicerminkan pada k = 0.
  2. Anjakkan h yang telah dibalikkan sebanyak n.
  3. Darabkannya sampel demi sampel dengan x dan tambahkan hasil darabnya. Itu memberikan y[n].
  4. Ulang bagi setiap n. Jika x mempunyai Lx sampel dan h mempunyai Lh, y mempunyai Lx + Lh − 1 sampel, bermula pada hasil tambah kedua-dua indeks permulaan.

Semakan pantas: hasil tambah semua sampel y sama dengan (Σx)·(Σh).

Semakan kendiri Bagi x[n] = {1, 2} dan h[n] = {3, 1}, kedua-duanya bermula pada n = 0, apakah y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Jawapan: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Mendarab x[1]·h[1] sahaja memberikan 2, dan 6 hanya mengekalkan satu daripada dua hasil darab itu.

3Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Konvolusikan x[n] = {2, 1, −1} dengan h[n] = {1, 3}, kedua-duanya bermula pada n = 0.

1

Perhatikan jujukan itu

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x mempunyai 3 sampel dan h mempunyai 2, jadi y mempunyai 3 + 2 − 1 = 4 sampel, dari n = 0 hingga n = 3.

2

y[0]

Hanya x[0] dan h[0] yang bertindih.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] dan y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Semak jawapan

Σx = 2 dan Σh = 4, jadi Σy mestilah 8. Memang 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Jawapan

y[n] = {2, 7, 2, −3} untuk n = 0 … 3.

4Konvolusi selanjar

Bagi isyarat dalam masa selanjar, hasil tambah menjadi kamiran:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Kaedahnya sama: balikkan h, gelongsorkannya ke kedudukan t, dan kamirkan hasil darab pada bahagian yang kedua-dua isyarat bukan sifar.

x(t)t12h(t)t1

Dengan x(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 1 s dan h(t) = e−tu(t), output semasa denyut hidup ialah y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Pada t = 1 s ia mencapai 2(1 − e−1) = 1.26, dan selepas itu ia susut sebagai 1.26·e−(t − 1).

  • y bermula pada hasil tambah kedua-dua masa mula dan berakhir pada hasil tambah kedua-dua masa tamat.
  • Luas di bawah y ialah luas di bawah x darab luas di bawah h.
  • Dua denyut segi empat tepat memberikan trapezium; dua yang sama memberikan segi tiga.
Semakan kendiri x(t) bukan sifar dari 0 hingga 2 s dan h(t) dari 1 s hingga 4 s. Bilakah y(t) = x(t) ∗ h(t) berakhir?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Jawapan: 6 s. y berakhir pada hasil tambah masa tamat: 2 + 4 = 6 s. Ia bermula pada 0 + 1 = 1 s, jadi ia berlangsung 5 s; 5 s ialah tempoh, bukan masa tamat.

5Sambutan impuls dan siri Fourier

Sistem tertib pertama y′ + a·y = b·x mempunyai sambutan impuls h(t) = b·e−atu(t). Padanan diskretnya y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] mempunyai h[n] = b·aⁿ untuk n ≥ 0.

Sinusoid melalui sistem LTI dengan frekuensinya tidak berubah. Ia diskalakan oleh |H(jω)| dan dianjakkan oleh ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Untuk h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Isyarat berkala dengan tempoh T ialah hasil tambah harmonik pada frekuensi k/T. Beberapa amplitud piawai:

  • Gelombang segi empat antara −A dan +A: hanya k ganjil, amplitud 4A/(kπ).
  • Gelombang segi tiga antara −A dan +A: hanya k ganjil, amplitud 8A/(π²k²).
  • Rentetan denyut dengan ketinggian A dan kitar tugas D: min A·D, harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Semakan kendiri Gelombang segi empat bersuis antara −2 dan +2. Apakah amplitud harmonik ketiganya?
  1. 0.283
  2. 0.424
  3. 0.849
  4. 2.546

Jawapan: 0.849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0.849. 2.546 ialah asas, 0.283 dibahagi dengan k² seperti gelombang segi tiga, dan 0.424 menggunakan 2A/(kπ), formula bagi gelombang dari 0 hingga A.

6Kesilapan lazim

  • Mendarab kedua-dua isyarat sampel demi sampel dan bukannya mengkonvolusikannya.
  • Menggelongsorkan h tanpa membalikkannya; itu memberikan korelasi, bukan konvolusi.
  • Mengelirukan sambutan impuls dengan sambutan langkah: sambutan langkah ialah hasil tambah atau kamiran berjalan bagi h.
  • Salah mengira harmonik: komponen pada k/T ialah harmonik k.
Semakan kendiri x[n] = {1, 2} dan h[n] = {1, 1}, kedua-duanya dari n = 0. Apakah y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Jawapan: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Hasil darab sampel demi sampel x[1]·h[1] hanya memberikan 2.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: konvolusi diskret. Anda mencari satu sampel output, sampel terbesar, hasil tambah semua sampel, indeks pertama atau terakhir y, output penapis FIR, atau sambutan kepada satu langkah.
  • Sederhana: konvolusi selanjar. Anda mencari y(t) pada masa tertentu bagi dua denyut, eksponen dengan langkah atau denyut, atau dua eksponen, serta luas, permulaan, penamat atau tempoh y.
  • Sukar: sambutan impuls dan siri Fourier. Anda mencari h(t) bagi PDB tertib pertama, h[n] atau sambutan langkah bagi satu rekursi, gandaan atau fasa untuk satu sinusoid, atau satu harmonik bagi gelombang segi empat, segi tiga atau denyut.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Jujukan x[n] = {4, −3, −2} dan h[n] = {3, 1} kedua-duanya bermula pada n = 0. Cari sampel y[1] bagi konvolusi y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Cari nilai y[1]

Tunjukkan petunjuk
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Untuk n = 1 sebutannya ialah k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Konvolusi diskret: output sistem linear tak varian masa ialah y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: balikkan h, anjakkan sebanyak n, darabkan sampel demi sampel dengan x dan tambah. Jika x mempunyai Lx sampel bermula pada nx dan h mempunyai Lh sampel bermula pada nh, maka y mempunyai Lx + Lh − 1 sampel bermula pada nx + nh. Hasil tambah semua sampel y sama dengan (Σx)·(Σh). Penapis FIR y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … ialah konvolusi dengan h[n] = bn.

Sebutan hasil tambah

Hanya k yang kedua-dua x[k] dan h[n − k] wujud yang menyumbang.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Tambahkannya

y[1] = −5

Jawapan

y[1] = −5
Contoh 2Sederhana
x(t)t11h(t)t1

Denyut x(t) = 1 untuk 0 ≤ t < 1 s (sifar di tempat lain) dikenakan pada sistem dengan h(t) = e−2tu(t). Cari output y(2.5) pada t = 2.5 s, selepas denyut berakhir.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2.5 s

Cari nilai y(2.5)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tulis denyut sebagai langkah pada t = 0 tolak langkah pada t = 1 s.
  2. Sambutan langkah ialah (A/a)(1 − e−at).
  3. Selepas denyut: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Output pada akhir denyut

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0.4323

Reputan selepas denyut

y(2.5) = 0.4323·e−2·1.5 = 0.02152

Jawapan

y(2.5) = 0.02152
Contoh 3Sukar
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Sistem mematuhi y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Cari sambutan impulsnya pada t = 0.05 s, h(0.05).

y′ + 5y = 3xt = 0.05 s

Cari nilai h(0.05)

Tunjukkan petunjuk
  1. Ambil transformasi Laplace dengan syarat awal sifar: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Fungsi pindah

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Sambutan dedenyut

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0.05) = 3·e−0.25 = 2.336

Jawapan

h(0.05) = 2.336

Soalan dan jawapan

Apakah Konvolusi & sistem LTI?

Sistem linear tak varian masa (LTI) diperihalkan sepenuhnya oleh sambutan impuls h: output yang diberikannya apabila inputnya ialah satu sentakan pendek.

Mana-mana input boleh dilihat sebagai barisan sentakan yang diskalakan dan dianjakkan. Setiap sentakan menghasilkan salinan h yang diskalakan dan dianjakkan, dan outputnya ialah hasil tambah semua salinan itu. Hasil tambah itu ialah konvolusi y = x ∗ h.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Konvolusi & sistem LTI langkah demi langkah?
  1. Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
  2. Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
  3. Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
  4. Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
Apakah kesilapan lazim dalam Konvolusi & sistem LTI?
  • Mendarab kedua-dua isyarat sampel demi sampel dan bukannya mengkonvolusikannya.
  • Menganjakkan h tanpa membalikkannya, yang memberikan korelasi.
  • Menggunakan formula sambutan langkah apabila sambutan impuls ditanya, atau sebaliknya.
  • Salah mengira nombor harmonik: komponen pada k/T ialah harmonik k.
Apakah yang diliputi oleh latihan Konvolusi & sistem LTI?
  • Mudah: konvolusi diskret
  • Sederhana: konvolusi selanjar
  • Sukar: sambutan impuls dan siri Fourier

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Kamiran

Kursus dengan topik ini

Isyarat dan SistemMatematik Kejuruteraan 2

Lebih banyak topik dalam Elektrik

Perintang bersiri & selariSuperposisiThévenin & NortonAnalisis nodAnalisis meshFana RC & RLImpedans AU & fasorKuasa AU & faktor kuasaSalunan LC, faktor Q & lebar jalurKuasa tiga fasaPengubahMotor DCLitar op-ampDiod & transistorPenukar DC-DCLogik digital: get, peta K & flip-flopJambatan Wheatstone & tolok terikanPerolehan data & pensampelanTransformasi LaplaceGambar rajah blokSambutan langkahPlot Bode dan marginKestabilan: Routh–Hurwitz & lokus puncaRalat keadaan mantap & kawalan PID

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Konvolusi & sistem LTI dengan jawapan
Berlatih Konvolusi & sistem LTI secara percumaBerlatih Konvolusi & sistem LTI sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.