Plot Bode dan margin: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Plot Bode dan margin percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: penapis dan asimptot, magnitud dan fasa, margin kestabilan.
Soalan latihan percumaMudah
Cari frekuensi sudut (−3 dB) fc bagi penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan, dengan R = 10 kΩ, C = 4.7 nF. Beri dalam Hz.
Suapkan gelombang sinus ke dalam penapis atau penguat, dan sinus dengan frekuensi yang sama keluar. Hanya dua perkara berubah: saiz dan masanya.
Gandaan |H| ialah nisbah amplitud output kepada amplitud input. Fasa φ ialah sejauh mana output teranjak, dalam darjah. Fasa negatif bermaksud output ketinggalan.
Kedua-duanya bergantung pada frekuensi. Plot Bode melukisnya terhadap frekuensi: gandaan dalam desibel di atas, fasa di bawah. Paksi frekuensi adalah logaritma, jadi setiap dekad (×10) mendapat lebar yang sama.
Desibel menukar nisbah kepada nombor yang boleh anda tambah:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Gandaan 1 ialah 0 dB, 10 ialah 20 dB, 100 ialah 40 dB, dan 0.1 ialah −20 dB.
Gandaan 1/√2 ≈ 0.707 ialah −3 dB. Ini ialah tepi jalur laluan penapis.
Semakan kendiri Penguat mempunyai gandaan 100. Apakah gandaannya dalam desibel?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Jawapan: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB menggunakan 10·log₁₀, yang untuk nisbah kuasa, bukan voltan. 2 hanyalah log₁₀(100).
2Penapis tertib pertama
Perintang dengan kapasitor atau induktor membentuk penapis yang paling ringkas. Penapis laluan rendah melepaskan frekuensi rendah dan melemahkan yang tinggi. Penapis laluan tinggi melakukan sebaliknya.
Dalam penapis laluan rendah RC (kiri) output merentasi kapasitor. Dalam penapis laluan tinggi RC (kanan) ia merentasi perintang. Dengan induktor, output penapis laluan rendah merentasi R, dan penapis laluan tinggi merentasi L.
Perubahan berlaku di sekitar frekuensi sudut, di mana gandaan ialah −3 dB. Ia sama untuk versi laluan rendah dan laluan tinggi:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc dalam rad/s dan fc dalam Hz. Letakkan R, C dan L dalam unit asas dahulu: Ω, F dan H.
Plot itu menunjukkan penapis laluan rendah. Di bawah ωc gandaannya kira-kira 0 dB. Di atasnya gandaan jatuh 20 dB setiap dekad. Fasa pergi dari 0° ke −90° dan ialah −45° pada sudut.
Pada sebarang frekuensi, dengan nisbah x = f/fc = ω/ωc:
Laluan rendah: |H| = 1/√(1 + x²) dan φ = −atan x.
Laluan tinggi: |H| = x/√(1 + x²) dan φ = 90° − atan x.
Contoh terselesai
Cari frekuensi sudut fc bagi penapis laluan tinggi RL dengan R = 470 Ω dan L = 47 mH.
1
Unit asas
L = 47 mH = 0.047 H
2
Sudut dalam rad/s
ωc = R/L = 470/0.047 = 10 000 rad/s
3
Sudut dalam Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Jawapan
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Semakan kendiri Penapis laluan rendah RC mempunyai R = 1 kΩ dan C = 1 µF. Apakah frekuensi sudutnya fc?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Jawapan: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0.000001) = 1000 rad/s, jadi fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 ialah ωc dalam rad/s, bukan Hz. 6283 mendarab dengan 2π, dan 159 kHz terlupa k dalam kΩ.
3Plot Bode garis lurus
Untuk fungsi pindahan G(s) anda boleh melakar magnitud dengan garis lurus. Setiap faktor mengubah kecerunan pada frekuensi sudutnya sendiri.
Faktor kutub (s + p) dalam penyebut membengkokkan garis ke bawah sebanyak 20 dB/dekad dari ω = p dan seterusnya.
Faktor sifar (s + z) dalam pengangka membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad dari ω = z dan seterusnya.
Faktor s dalam penyebut (pengamir) memberikan −20 dB/dekad pada setiap frekuensi, dan fasa −90°.
Tanpa pengamir, plot bermula mendatar pada gandaan DC G(0), yang ditukar kepada dB.
Rajah menunjukkan G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, jadi plot bermula pada 20 dB. Ia membengkok kepada −20 dB/dekad pada 10 rad/s dan kepada −40 dB/dekad pada 100 rad/s.
Untuk mencari kecerunan dalam suatu jalur: mulakan dengan −20 dB/dekad bagi setiap pengamir, kemudian tambah −20 bagi setiap sudut kutub dan +20 bagi setiap sudut sifar di bawah jalur itu.
Semakan kendiri G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Apakah kecerunan plot garis lurus antara 5 dan 50 rad/s?
0 dB/dekad
−20 dB/dekad
−40 dB/dekad
−60 dB/dekad
Jawapan: −40 dB/dekad. Pengamir memberikan −20 dari awal. Kutub pada 5 menambah −20, jadi kecerunan ialah −40 antara 5 dan 50. Sifar pada 50 membawanya kembali kepada −20 di atas 50. −60 menganggap sifar sebagai kutub.
4Nilai tepat pada satu frekuensi
Garis lurus ialah lakaran. Untuk nilai tepat, gantikan s = jω. Setiap faktor (jω + a) ialah nombor kompleks dengan:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
Magnitud G ialah hasil darab magnitud pengangka dibahagi dengan hasil darab magnitud penyebut. Fasa ialah hasil tambah sudut pengangka tolak hasil tambah sudut penyebut.
Contoh: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) pada ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 dan |j4 + 4| = 5.657, jadi |G| = 150/28.28 = 5.30, iaitu 14.5 dB.
Litar RLC siri dengan output merentasi R ialah penapis laluan jalur. Ia melepaskan frekuensi berhampiran frekuensi resonans ω₀ = 1/√(LC). Lebar jalur ialah BW = R/L dalam rad/s, dan faktor kualiti Q = ω₀/BW.
Tuliskan G(s) atau H(jω). Untuk penapis RC atau RL, cari ωc dan nisbah x = ω/ωc dahulu.
Bagi setiap faktor, cari magnitudnya √(ω² + a²) dan sudutnya atan(ω/a).
Darabkan dan bahagikan magnitud. Tambah sudut sifar dan tolak sudut kutub; pengamir menambah −90°.
Tukarkan magnitud kepada dB dengan 20·log₁₀.
Semak dengan lakaran garis lurus: nilai tepat sepatutnya terletak dekat dengannya, dan 3 dB di bawahnya pada satu sudut.
5Contoh terselesai
Ini ialah soalan sederhana yang tipikal. Cuba setiap langkah sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Penapis laluan rendah RC mempunyai R = 10 kΩ dan C = 100 nF. Sinus 480 Hz dikenakan. Cari gandaan |H| dalam dB dan anjakan fasa φ.
1
Frekuensi sudut
Gunakan unit asas: R = 10 000 Ω dan C = 0.0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0.0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159.2 Hz
2
Nisbah frekuensi
x = f/fc = 480/159.2 = 3.016
Input berada di atas sudut, jadi jangkakan kehilangan gandaan yang jelas.
3
Gandaan
|H| = 1/√(1 + 3.016²) = 1/3.177 = 0.315
20·log₁₀(0.315) = −10.0 dB
4
Fasa
Penapis laluan rendah menjadikan output ketinggalan, jadi fasa negatif.
φ = −atan(3.016) = −71.7°
5
Semak jawapan
Garis lurus memberikan −20·log₁₀(3.016) = −9.6 dB, hampir dengan −10.0 dB yang tepat.
Jawapan
|H| ≈ −10.0 dB dan φ ≈ −71.7°.
6Kesilapan lazim
Menggunakan 10·log₁₀ untuk gandaan voltan. Gandaan isyarat menggunakan 20·log₁₀.
Mencampuradukkan ω dan f. ωc = 1/(RC) dalam rad/s; bahagi dengan 2π untuk Hz.
Menggunakan L/R untuk frekuensi sudut RL. L/R ialah pemalar masa; sudutnya ialah ωc = R/L.
Menambah magnitud seperti ω + a. Saiz jω + a ialah √(ω² + a²).
Terlupa pengamir: 1/s memberikan −20 dB/dekad dan −90° pada setiap frekuensi.
Memberikan nilai garis lurus apabila soalan meminta magnitud yang tepat.
Semakan kendiri Apakah gandaan DC bagi G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) dalam dB?
16.0 dB
32.0 dB
40 dB
52.0 dB
Jawapan: 32.0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, dan 20·log₁₀(40) = 32.0 dB. 16.0 dB menggunakan 10·log₁₀. 40 ialah nisbah, bukan dB. 52.0 dB terlupa menetapkan s = 0 dalam penyebut.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: penapis dan asimptot. Frekuensi sudut penapis RC atau RL dalam Hz atau rad/s, kecerunan plot garis lurus dalam suatu jalur, atau gandaan DC dalam dB.
Sederhana: magnitud dan fasa. Gandaan dalam dB atau fasa penapis pada frekuensi tertentu, |G(jω)| atau ∠G(jω) yang tepat bagi fungsi pindahan, atau f₀, BW atau Q penapis laluan jalur RLC.
Sukar: margin kestabilan gelung L(s), seperti 85/(s(s + 5)) atau K/(s(s + a)(s + b)).
Untuk tahap sukar anda memerlukan dua frekuensi. Pada persilangan gandaan ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). Pada persilangan fasa ω180, ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Untuk L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) persilangan fasa berada pada ω180 = √(a·b). Gelung stabil apabila kedua-dua margin positif.
Cari gandaan frekuensi rendah (DC) bagi G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) dalam desibel, |G(0)| dalam dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Cari nilai |G(0)|(dB)
Tunjukkan petunjuk
Pada frekuensi yang sangat rendah s → 0.
G(0) = 0.3.
20·log₁₀(0.3).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Gandaan AT
G(0) = 0.3
Dalam desibel
20·log₁₀(0.3) = −10.46 dB
Jawapan
|G(0)| = −10.46 dB
Contoh 2Sederhana
penapis laluan rendah RC yang ditunjukkan mempunyai R = 1 kΩ, C = 1 nF. Input sinusoid 1600 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Cari nilai φ(°)
Tunjukkan petunjuk
Cari frekuensi sudut dahulu: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10.05.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1.6 × 10⁶/159155 = 10.05
Fasa
φ = − atan(10.05) = −84.32°
Jawapan
φ = −84.32°
Contoh 3Sukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 185/(s(s + 5)). Cari margin fasa PM dalam darjah.
Selesaikan kuadratik dalam x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13.15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Lintasan gandaan
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172.9
ωc = 13.15 rad/s
Margin fasa
∠L(jωc) = −90° − atan(13.15/5) = −159.2°
PM = 180° + ∠L = 20.82°
Jawapan
PM = 20.82°
Soalan dan jawapan
Apakah Plot Bode dan margin?
Suapkan gelombang sinus ke dalam penapis atau penguat, dan sinus dengan frekuensi yang sama keluar. Hanya dua perkara berubah: saiz dan masanya.
Kedua-duanya bergantung pada frekuensi. Plot Bode melukisnya terhadap frekuensi: gandaan dalam desibel di atas, fasa di bawah. Paksi frekuensi adalah logaritma, jadi setiap dekad (×10) mendapat lebar yang sama.
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Apakah kesilapan lazim dalam Plot Bode dan margin?
Itu gandaan sebagai nisbah. Tukar: 20·log₁₀(0.3).
Bagi nisbah voltan atau isyarat gunakan 20·log₁₀, bukan 10·log₁₀ (itu untuk kuasa).
Tetapkan s = 0 dalam setiap faktor: G(0) = 0.3, bukan 12.
Apakah yang diliputi oleh latihan Plot Bode dan margin?
Mudah: penapis dan asimptot
Sederhana: magnitud dan fasa
Sukar: margin kestabilan
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.