Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: Tatasusunan Routh dan pengiraan kutub, julat K untuk kestabilan, lokus punca.

Soalan latihan percumaMudah
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Polinomial ciri bagi sistem suap balik ialah Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Bina tatasusunan Routh dan cari berapa banyak punca N bagi Q(s) terletak di separuh satah kanan.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Jawapan tepat: nombor bulat, tanpa pembundaran.

Soalan seterusnya →
Berlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca secara percumaBerlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. MudahTatasusunan Routh dan pengiraan kutub
  2. Sederhanajulat K untuk kestabilan
  3. Sukarlokus punca

Cara menyelesaikan soalan Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca

  1. Tulis polinomial ciri gelung tertutup: penyebut 1 + K·G(s) = 0, setelah dikembangkan.
  2. Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
  3. Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
  4. Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.

Kesilapan lazim

  • Menyimpulkan bahawa sistem stabil kerana semua pekali positif; untuk kubik atau tertib lebih tinggi itu tidak mencukupi.
  • Terlupa sebutan malar loji apabila K ditambah: dengan tiga kutub jauh dari asalan entri s⁰ ialah abc + K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pemisahan apabila kutub ketiga atau sifar berdekatan.
  • Menggunakan kedudukan kutub tanpa tandanya dalam formula sentroid.

Formula utama

Kestabilan
semua punca polinomial ciri di separuh satah kiri
tatasusunan Routh, entri s¹ bagi kubik
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Punca separuh satah kanan
bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama
Kubik s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabil apabila semua a > 0 dan a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Persamaan cirian
1 + K·G(s) = 0
Asimptot
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Titik pemisahan dan penyertaan
dK/ds = 0
Syarat magnitud
K = 1/|G(s)|
Sudut berlepas
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Pelajari Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca dari awal

Sebelum ini: Transformasi Laplace, Gambar rajah blok

1Maksud kestabilan

Sistem stabil apabila setiap input terbatas memberikan output terbatas. Selepas gangguan, sistem stabil menetap; sistem tak stabil lari atau berayun dengan amplitud yang membesar.

Kelakuannya ditentukan oleh kutub gelung tertutup: punca polinomial cirinya. Kutub pada s = p menambah sebutan ept pada sambutan.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Kutub dengan bahagian nyata negatif (separuh satah kiri) memberikan sebutan yang susut.
  • Kutub dengan bahagian nyata positif (separuh satah kanan) memberikan sebutan yang membesar tanpa had.
  • Jadi sistem stabil hanya apabila semua kutub berada di separuh satah kiri.
Semakan kendiri Gelung tertutup mempunyai kutub pada −3, −1 + j2, −1 − j2 dan +0.5. Adakah ia stabil?
  1. Tidak, kerana kutub kompleks sentiasa menjadikan sistem tak stabil
  2. Tidak, kutub pada +0.5 menjadikannya tak stabil
  3. Ya, kerana kutub kompleks mempunyai bahagian nyata negatif
  4. Ya, kerana tiga daripada empat kutub berada di separuh satah kiri

Jawapan: Tidak, kutub pada +0.5 menjadikannya tak stabil. Satu kutub di separuh satah kanan sudah cukup: sebutannya e0.5t membesar. Kutub kompleks di separuh satah kiri tidak mengapa; ia memberikan ayunan yang susut.

2Tatasusunan Routh

Untuk kubik atau tertib lebih tinggi, sukar mencari punca secara manual. Kriteria Routh–Hurwitz memberitahu berapa banyak punca berada di separuh satah kanan tanpa menyelesaikannya.

Tulis pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama. Bagi s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Setiap baris baharu dibina daripada dua baris di atasnya. Bagi kubik, entri s¹ ialah:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan.

Contoh: s³ + 2s² + 3s + 10. Lajur pertama ialah 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Tandanya +, +, −, +: dua perubahan, jadi dua kutub berada di separuh satah kanan.

Semakan kendiri Bagi s³ + 4s² + 5s + 2, apakah entri pertama baris s¹?
  1. 18
  2. 4.5
  3. 5
  4. −4.5

Jawapan: 4.5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4.5. Terlupa membahagi dengan 4 memberikan 18; menukar tertib hasil darab memberikan −4.5.

3Kaedah langkah demi langkah

  1. Tulis persamaan ciri gelung tertutup 1 + K·G(s) = 0 dan kembangkannya menjadi polinomial.
  2. Isikan dua baris pertama tatasusunan Routh dengan pekali.
  3. Bina baris yang selebihnya; kekalkan K sebagai simbol jika ia muncul.
  4. Kira perubahan tanda dalam lajur pertama, atau tetapkan setiap entri lajur pertama positif untuk mencari julat K yang dibenarkan.
  5. Pada gandaan penghad baris s¹ ialah sifar. Baris s² kemudian memberikan persamaan tambahan a·s² + b = 0, yang puncanya ±jω menunjukkan frekuensi ayunan.

Ujian pantas untuk kubik s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ia stabil tepat apabila semua pekali positif dan a₂·a₁ > a₀.

4Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Gelung di bawah mempunyai L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Untuk gandaan K yang manakah gelung tertutup stabil, dan pada frekuensi berapakah ia berayun pada had?

1

Perhatikan gelung itu

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Persamaan cirinya ialah 1 + L(s) = 0, jadi s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Kembangkan

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Bina tatasusunan Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Entri s¹ ialah (6·8 − 1·K)/6.

4

Kekalkan lajur pertama positif

Daripada baris s⁰: K > 0. Daripada baris s¹: 48 − K > 0, jadi K < 48.

5

Frekuensi pada had

Pada K = 48 baris s¹ ialah sifar. Baris s² memberikan 6s² + 48 = 0, jadi s² = −8.

ω = √8 = 2.83 rad/s
6

Semak jawapan

Pada K = 48 polinomial itu ialah s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Puncanya ialah −6 dan ±j2.83, seperti yang dijangka.

Jawapan

Gelung stabil untuk 0 < K < 48; pada K = 48 ia berayun pada ω = 2.83 rad/s.

5Lokus punca

Lokus punca menunjukkan bagaimana kutub gelung tertutup bergerak apabila K pergi dari 0 ke ∞. Ia bermula pada kutub gelung terbuka (×) dan berakhir pada sifar gelung terbuka (○) atau pada ketakterhinggaan.

  • Satu titik pada paksi nyata berada pada lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ganjil.
  • n − m cabang yang menuju ketakterhinggaan mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Asimptot bermula dari sentroid σa = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m).
  • Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0, dengan K = −1/G(s) pada paksi itu.
  • Gandaan pada mana-mana titik s pada lokus ialah K = 1/|G(s)|, hasil darab jarak ke kutub dibahagi jarak ke sifar.

Bagi L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) sentroidnya ialah (0 − 2 − 4)/3 = −2, dan asimptot berlepas pada 60°, 180° dan 300°.

ReIm0−2−460°

Titik pemisahan antara 0 dan −2 diperoleh daripada dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, jadi s = −0.845.

Semakan kendiri Bagi L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), di manakah kedua-dua cabang meninggalkan paksi nyata?
  1. s = −1
  2. s = −2.5
  3. s = −3
  4. s = −6

Jawapan: s = −3. Dengan dua kutub nyata dan tiada sifar, K = −(s + 1)(s + 5) paling besar di tengah-tengah antara keduanya: dK/ds = −(2s + 6) = 0 memberikan s = −3.

6Kesilapan lazim

  • Menyebut sistem stabil kerana semua pekalinya positif. Untuk kubik atau tertib lebih tinggi anda juga memerlukan ujian Routh.
  • Terlupa sebutan malar loji: bagi K/((s + a)(s + b)(s + c)) pekali s⁰ ialah abc + K, bukan K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pemisahan apabila kutub ketiga atau sifar menarik lokus.
  • Mengabaikan tanda dalam sentroid: faktor (s + 4) ialah kutub pada s = −4.
Semakan kendiri Adakah s³ + s² + 2s + 8 = 0 persamaan ciri yang stabil?
  1. Tidak: a₂·a₁ = 2 kurang daripada a₀ = 8
  2. Tidak: kubik tidak pernah stabil
  3. Ya: pekali tidak bertukar tanda
  4. Ya: semua pekali positif

Jawapan: Tidak: a₂·a₁ = 2 kurang daripada a₀ = 8. Entri s¹ ialah (1·2 − 8)/1 = −6, jadi lajur pertama 1, 1, −6, 8 bertukar tanda dua kali: dua kutub berada di separuh satah kanan. Pekali positif tidak mencukupi.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: tatasusunan Routh dan bilangan kutub. Anda mengira kutub separuh satah kanan bagi kubik atau kuartik, mencari satu entri tatasusunan, mencari kutub gelung tertutup bagi loji tertib pertama, atau gandaan yang meletakkannya pada titik tertentu.
  • Sederhana: julat K. Anda mencari gandaan stabil terbesar, frekuensi ayunan pada gandaan itu, gandaan terkecil yang menstabilkan loji tak stabil, atau setakat mana gandaan boleh naik.
  • Sukar: lokus punca. Anda mencari sentroid asimptot, persilangan paksi khayal, titik pemisahan dan penyertaan, sudut berlepas dari kutub kompleks, atau gandaan pada titik atau nisbah redaman tertentu.

Untuk gandaan pada nisbah redaman, tulis polinomial ciri dan bandingkannya dengan s² + 2ζωns + ωn².

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
R(s)+K1s + 10C(s)−

Gandaan berkadar K mengawal loji G(s) = 1/(s + 10) dalam gelung suap balik unit. Cari gandaan K yang meletakkan kutub gelung tertutup pada s = −10.5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10.5

Cari nilai K

Tunjukkan petunjuk
  1. Kutub gelung tertutup ialah punca s + 10 + 1K = 0.
  2. Letakkan s = −10.5 ke dalam persamaan itu.
  3. 1K = 10.5 − 10.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.

Persamaan cirian

s + 10 + 1K = 0

Gandaan yang diperlukan

−10.5 + 10 + 1K = 0 → K = (10.5 − 10)/1 = 0.5

Jawapan

K = 0.5
Contoh 2Sederhana
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Loji G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) mempunyai kutub tidak stabil pada s = 4. Gandaan berkadar K menutup gelung suap balik unit mengelilinginya. Cari gandaan terkecil Kmin yang menjadikan gelung tertutup stabil.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Cari nilai Kmin

Tunjukkan petunjuk
  1. Polinomial cirinya ialah (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Polinomial tertib kedua stabil apabila kedua-dua pekali positif.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Kriteria Routh–Hurwitz: sistem linear stabil apabila setiap punca polinomial cirinya terletak di separuh kiri satah-s. Tulis pekali secara berselang-seli ke dalam dua baris pertama tatasusunan Routh. Setiap entri baris baharu datang daripada dua baris di atasnya; untuk kubik a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ entri s¹ ialah b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Bilangan perubahan tanda dalam lajur pertama sama dengan bilangan punca di separuh satah kanan. Dengan gandaan K dalam pekali, setiap entri lajur pertama mesti kekal positif: gandaan yang menjadikan entri s¹ sifar ialah had kestabilan, dan baris s² kemudian memberikan frekuensi ayunan berterusan.

Polinomial ciri

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Syarat

Untuk s² + c₁s + c₀ semua punca terletak di separuh satah kiri tepat apabila c₁ > 0 dan c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Jawapan

Kmin = 3
Contoh 3Sukar
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Lokus punca bagi L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) meninggalkan paksi nyata antara s = 0 dan s = −4. Cari titik pemisahan sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Cari nilai sb

Tunjukkan petunjuk
  1. Pada paksi nyata K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Tetapkan dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Ambil punca yang terletak antara 0 dan −4.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Lokus punca: apabila gandaan K berubah dari 0 ke ∞, kutub gelung tertutup, punca 1 + K·G(s) = 0, bergerak daripada kutub gelung terbuka ke sifar gelung terbuka atau ke infiniti. Titik pada paksi nyata tergolong dalam lokus apabila bilangan kutub dan sifar nyata di sebelah kanannya ialah ganjil. Cabang n − m yang menuju ke infiniti mengikut asimptot pada sudut (2q + 1)·180°/(n − m), yang bermula dari sentroid σₐ = (Σ kutub − Σ sifar)/(n − m). Cabang meninggalkan atau menyertai paksi nyata di mana dK/ds = 0. Syarat sudut ∠G(s) = 180° menentukan bentuk, dan syarat magnitud K = 1/|G(s)| memberikan gandaan pada mana-mana titik lokus.

Gandaan di sepanjang paksi nyata

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Titik pegun

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1.761, −7.573

Pilih titik pada lokus

Lokus terletak pada paksi nyata antara 0 dan −4; punca yang satu lagi tidak terletak pada lokus.

sb = −1.761

Jawapan

sb = −1.761

Soalan dan jawapan

Apakah Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca?

Sistem stabil apabila setiap input terbatas memberikan output terbatas. Selepas gangguan, sistem stabil menetap; sistem tak stabil lari atau berayun dengan amplitud yang membesar.

Kelakuannya ditentukan oleh kutub gelung tertutup: punca polinomial cirinya. Kutub pada s = p menambah sebutan ept pada sambutan.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca langkah demi langkah?
  1. Tulis polinomial ciri gelung tertutup: penyebut 1 + K·G(s) = 0, setelah dikembangkan.
  2. Letakkan pekali secara berselang-seli dalam dua baris pertama tatasusunan Routh dan bina baris yang selebihnya.
  3. Kira perubahan tanda dalam lajur pertama: setiap satu ialah kutub di separuh satah kanan. Dengan K dalam tatasusunan, pastikan setiap entri lajur pertama kekal positif.
  4. Untuk lokus punca, tandakan kutub dan sifar, segmen paksi nyata, asimptot dari sentroid dan titik pemisahan di mana dK/ds = 0. Gunakan K = 1/|G(s)| untuk gandaan pada suatu titik.
Apakah kesilapan lazim dalam Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca?
  • Menyimpulkan bahawa sistem stabil kerana semua pekali positif; untuk kubik atau tertib lebih tinggi itu tidak mencukupi.
  • Terlupa sebutan malar loji apabila K ditambah: dengan tiga kutub jauh dari asalan entri s⁰ ialah abc + K.
  • Mengambil titik tengah dua kutub sebagai titik pemisahan apabila kutub ketiga atau sifar berdekatan.
  • Menggunakan kedudukan kutub tanpa tandanya dalam formula sentroid.
Apakah yang diliputi oleh latihan Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca?
  • Mudah: Tatasusunan Routh dan pengiraan kutub
  • Sederhana: julat K untuk kestabilan
  • Sukar: lokus punca

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Transformasi LaplaceGambar rajah blok

Kalkulator

Kalkulator kriteria kestabilan Routh–Hurwitz

Kursus dengan topik ini

Kejuruteraan Kawalan 1Kejuruteraan Kawalan 2: Reka Bentuk Kawalan Suap BalikLatihan peperiksaan FE Elektrik dan Komputer

Lebih banyak topik dalam Elektrik

Perintang bersiri & selariSuperposisiThévenin & NortonAnalisis nodAnalisis meshFana RC & RLImpedans AU & fasorKuasa AU & faktor kuasaSalunan LC, faktor Q & lebar jalurKuasa tiga fasaPengubahMotor DCLitar op-ampDiod & transistorPenukar DC-DCLogik digital: get, peta K & flip-flopJambatan Wheatstone & tolok terikanPerolehan data & pensampelanTransformasi LaplaceGambar rajah blokSambutan langkahPlot Bode dan marginRalat keadaan mantap & kawalan PIDKonvolusi & sistem LTI

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca dengan jawapan
Berlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca secara percumaBerlatih Kestabilan: Routh–Hurwitz & lokus punca sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.