Sambutan langkah: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Sambutan langkah percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: sistem peringkat pertama, parameter peringkat kedua, sistem fizikal dan reka bentuk.
Soalan latihan percumaMudah
Pemuat tanpa cas C = 47 µF dicas daripada sumber langkah 5 V melalui perintang R = 4.7 kΩ. Cari voltan pemuat vC pada t = 220.9 ms.
Langkah ialah input yang melonjak dari 0 kepada nilai malar pada t = 0 dan kemudian kekal di situ. Bayangkan menghidupkan pemanas, atau menekan pedal minyak dan menahannya.
Sambutan langkah ialah bagaimana output mengikutinya. Ia tidak boleh melonjak serta-merta: ia bergerak ke arah nilai akhir y(∞) yang baharu dan menetap di situ.
Lengkung a naik dengan lancar dan tidak pernah terlajak. Itu sistem tertib pertama, seperti litar RC atau tangki yang dipanaskan.
Lengkung b terlajak, berayun beberapa kali dan kemudian menetap. Itu sistem tertib kedua kurang teredam, seperti suspensi kereta atau jisim pada pegas.
Nilai akhir datang daripada gandaan DC G(0): langkah bersaiz U menetap pada y(∞) = G(0)·U. Ini ialah teorem nilai akhir daripada transformasi Laplace.
Semakan kendiri Sistem G(s) = 3/(2s + 1) menerima langkah bersaiz 4. Apakah nilai akhir y(∞)?
12
3
4
6
Jawapan: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, jadi y(∞) = 3·4 = 12. Nilai 4 terlupa gandaan, 3 terlupa saiz langkah, dan 6 membahagi dengan 2 dalam 2s, yang lenyap pada s = 0.
2Sistem tertib pertama
Sistem tertib pertama mempunyai bentuk piawai di bawah. K ialah gandaan statik dan τ pemalar masa dalam saat.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Jika G(s) ditulis sebagai b/(s + a), bahagikan atas dan bawah dengan a. Maka K = b/a dan τ = 1/a.
Selepas 1τ output telah melakukan 63% perubahannya, selepas 3τ 95%, selepas 5τ lebih daripada 99%.
Masa untuk mencapai pecahan x nilai akhir: t = −τ·ln(1 − x). Untuk 90%, t = τ·ln 10 = 2.3τ.
Masa naik 10–90% ialah tr = τ·ln 9 ≈ 2.2τ.
Untuk litar RC τ = R·C. Perhatikan bahawa kΩ darab µF memberikan milisaat.
Jika anda mengukur sambutan, anda boleh mencari τ secara terbalik. Jika output mencapai pecahan x pada masa t, maka τ = −t/ln(1 − x).
Contoh terselesai
G(s) = 10/(s + 5) menerima langkah bersaiz 2 pada t = 0. Cari nilai akhir dan masa untuk mencapai 90% daripadanya.
1
Bentuk piawai
Bahagikan atas dan bawah dengan 5:
G(s) = 2/(0.2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0.2 s
2
Nilai akhir
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Masa untuk 90%
Selesaikan 1 − e−t/τ = 0.9, jadi e−t/τ = 0.1:
t = −τ·ln(0.1) = 0.2·2.303 = 0.461 s
Jawapan
y(∞) = 4 dan output mencapai 90% selepas t ≈ 0.461 s.
Semakan kendiri Apakah pemalar masa bagi G(s) = 10/(s + 5)?
0.2 s
10 s
2 s
5 s
Jawapan: 0.2 s. Ditulis sebagai 2/(0.2s + 1), pemalar masa ialah τ = 1/5 = 0.2 s. 5 s mengelirukan τ dengan a, dan 2 ialah gandaan K, bukan masa.
3Sistem tertib kedua
Sistem tertib kedua mempunyai penyebut kuadratik. Bandingkan dengan bentuk piawai:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Sebutan malar ialah ωn², jadi frekuensi tabii ialah ωn = √(sebutan malar), dalam rad/s.
Pekali s ialah 2ζωn, jadi nisbah redaman ialah ζ = (pekali s)/(2ωn).
Untuk 0 < ζ < 1 sambutan terlajak dan berayun. ζ yang lebih kecil bermakna lebih banyak terlajak.
Untuk langkah unit nilai akhir ialah G(0) = K/ωn². Lima nombor menerangkan bentuk sambutan:
ωd ialah frekuensi teredam: seberapa cepat sambutan berayun.
tp ialah masa puncak, apabila output tertinggi. %OS ialah peratus terlajak di atas nilai akhir.
ts ialah masa penetapan, selepas itu output kekal dalam 2% daripada nilai akhir.
Kedua-dua kutub ialah s = σ ± jωd, dengan bahagian nyata σ = −ζωn. Jaraknya dari asalan ialah ωn, dan cos θ = ζ.
Semakan kendiri Sistem mempunyai penyebut s² + 4s + 25. Apakah nisbah redaman ζ?
0.08
0.4
0.8
2
Jawapan: 0.4. ωn = √25 = 5, dan 2ζωn = 4 memberikan ζ = 4/(2·5) = 0.4. 0.8 terlupa 2, 0.08 membahagi dengan ωn² dan bukannya ωn, dan 2 ialah ζωn.
4Kaedah langkah demi langkah
Tentukan tertib: penyebut berdarjah 1 ialah tertib pertama, berdarjah 2 ialah tertib kedua.
Tertib pertama: tulis G(s) sebagai K/(τs + 1) dan baca K dan τ.
Tertib kedua: bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωns + ωn². Cari ωn dahulu, kemudian ζ.
Cari nilai akhir y(∞) = G(0)·U.
Gunakan formula untuk apa yang ditanya: y(t), suatu masa, tp, %OS, ts atau σ.
Semak unit: masa dalam saat, ω dalam rad/s, dan sudut dalam formula e… dan π dalam radian.
5Contoh terselesai
Ini ialah soalan sederhana yang tipikal. Cuba setiap langkah sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) menerima langkah unit. Cari ζ, ωn, peratus terlajak dan masa puncak.
1
Frekuensi tabii
Sebutan malar ialah ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Nisbah redaman
Pekali s ialah 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0.5
ζ berada antara 0 dan 1, jadi sambutan terlajak.
3
Peratus terlajak
ζπ/√(1 − ζ²) = 0.5·π/√0.75 = 1.814
%OS = 100·e−1.814 = 16.3%
4
Masa puncak
ωd = 4·√(1 − 0.25) = 3.464 rad/s
tp = π/3.464 = 0.907 s
5
Semak jawapan
Nilai akhir ialah G(0) = 16/16 = 1, jadi puncaknya kira-kira 1.163. Rajah dalam bahagian sebelumnya menggunakan sistem yang sama ini.
Masa penetapan 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s adalah lebih lewat daripada puncak, seperti yang sepatutnya.
Jawapan
ωn = 4 rad/s, ζ = 0.5, %OS ≈ 16.3% dan tp ≈ 0.907 s.
6Kesilapan lazim
Menganggap kenaikan sebagai linear. Eksponen mencapai 90% selepas 2.3τ, bukan selepas 0.9τ: gunakan t = −τ·ln(1 − x).
Menggunakan ln(x) dan bukannya ln(1 − x). Logaritma mengambil bahagian yang masih kurang.
Membaca τ = a daripada b/(s + a). Pemalar masa ialah 1/a.
Menggunakan ωn² sebagai ωn. Ambil punca kuasa dua sebutan malar.
Terlupa 2 dalam 2ζωn, atau menggunakan ωn dan bukannya ωd dalam tp = π/ωd.
Memberikan terlajak sebagai pecahan (0.163) apabila soalan meminta peratus (16.3%).
Semakan kendiri G(s) = 2/(s + 4) menerima langkah. Berapa lamakah output mengambil masa untuk mencapai 90% daripada nilai akhirnya?
0.026 s
0.225 s
0.576 s
9.21 s
Jawapan: 0.576 s. τ = 1/4 = 0.25 s dan t = −0.25·ln(0.1) = 0.576 s. 0.225 s menganggap kenaikan linear (0.9τ). 0.026 s menggunakan ln(0.9) dan bukannya ln(0.1). 9.21 s menggunakan a = 4 dan bukannya τ.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: sistem tertib pertama. Anda mencari y(∞), output pada masa tertentu, masa untuk mencapai peratusan, τ daripada titik yang diukur, atau masa pengecasan litar RC.
Sederhana: parameter tertib kedua. Daripada G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) anda mencari ζ, ωn, %OS, tp, ts atau bahagian nyata σ kutub.
Sukar: sistem fizikal dan reka bentuk. Jisim–pegas–peredam atau litar RLC, atau ζ dan ωn yang dikira balik daripada terlajak dan masa puncak yang diukur.
Untuk jisim m, peredam c dan pegas k, persamaan m·x″ + c·x′ + k·x = F memberikan:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Untuk mengira balik daripada terlajak, selesaikan formula %OS untuk ζ:
Sistem peringkat pertama G(s) = 2/(2s + 1) menerima input langkah bersaiz 2 pada t = 0, bermula daripada keadaan rehat. Cari nilai akhir y(∞) bagi output.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Cari nilai y(∞)
Tunjukkan petunjuk
Teorem nilai akhir: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) ialah gandaan DC.
G(0) = 2.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Gandaan AT
G(0) = 2
Nilai akhir
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Jawapan
y(∞) = 4
Contoh 2Sederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 213/(s² + 8s + 71) dan menerima input langkah unit. Cari peratusan lajakan %OS bagi sambutan langkah.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Cari nilai %OS(%)
Tunjukkan petunjuk
Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8.426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0.4747.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8.426) = 0.4747
Keputusan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.694 = 18.37 %
Jawapan
%OS = 18.37 %
Contoh 3Sukar
Jisim m = 2.5 kg tergantung pada spring k = 800 N/m dengan peredam likat c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Pada keadaan rehat dalam keseimbangan, daya malar F = 10 N dikenakan secara tiba-tiba. Cari masa tp apabila sesaran paling besar.
m = 2.5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Cari nilai tp(s)
Tunjukkan petunjuk
Bahagikan dengan m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, maka ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17.89 rad/s, ζ = 0.1006.
Sesaran akhir ialah F/k = 12.5 mm.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi tabii dan nisbah redaman
ωₙ = √(k/m) = √(800/2.5) = 17.89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2.5)) = 0.1006
Keputusan
ωd = 17.8 rad/s
tp = π/ωd = 0.1765 s
Jawapan
tp = 0.1765 s
Soalan dan jawapan
Apakah Sambutan langkah?
Lengkung a naik dengan lancar dan tidak pernah terlajak. Itu sistem tertib pertama, seperti litar RC atau tangki yang dipanaskan.
Lengkung b terlajak, berayun beberapa kali dan kemudian menetap. Itu sistem tertib kedua kurang teredam, seperti suspensi kereta atau jisim pada pegas.
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Apakah kesilapan lazim dalam Sambutan langkah?
Output menetap pada K·U, bukan pada U: gandaan DC ialah G(0) = 2.
Nyatakan lajakan dalam peratus: darabkan dengan 100.
Eksponennya ialah −ζπ/√(1 − ζ²).
Apakah yang diliputi oleh latihan Sambutan langkah?
Mudah: sistem peringkat pertama
Sederhana: parameter peringkat kedua
Sukar: sistem fizikal dan reka bentuk
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.