Kamiran: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Kamiran percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: polinomial, eksponen, log dan penggantian, luas antara lengkung.

Soalan latihan percumaMudah
xy−2−1

Nilaikan I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Soalan seterusnya →
Berlatih Kamiran secara percumaBerlatih Kamiran sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahpolinomial
  2. Sederhanaeksponen, log dan penggantian
  3. Sukarluas antara lengkung

Cara menyelesaikan soalan Kamiran

  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Kesilapan lazim

  • Terlupa membahagi dengan kuasa baharu.
  • Tidak menukar had selepas penggantian.
  • Terlupa + C dalam kamiran tak tentu.

Formula utama

Petua kuasa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung
∫ab (f − g) dx

Pelajari Kamiran dari awal

Sebelum ini: Terbitan

1Apakah kamiran

Kamiran menjumlahkan kuantiti yang berubah. Gambaran paling jelas ialah luas di bawah graf.

Sebuah kereta memandu pada 20 m/s selama 5 s. Ia melalui 20 · 5 = 100 m. Pada graf laju–masa, itu ialah luas segi empat tepat di bawah garis.

xy520100

Apabila laju berubah, bentuk di bawah graf adalah melengkung, tetapi idea yang sama: luas ialah jarak.

Kita menulis luas di bawah f antara x = a dan x = b sebagai:

∫ab f(x) dx

Nombor a dan b ialah had kamiran. dx memberitahu anda bahawa x ialah pemboleh ubah.

Semakan kendiri Seorang penunggang basikal menunggang pada 10 m/s malar selama 4 s. Apakah luas di bawah graf laju–masa?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2.5 m
  4. 40 m

Jawapan: 40 m. Luasnya ialah segi empat tepat: ketinggian 10 m/s darab lebar 4 s memberi 40 m. Membahagi 10 dengan 4 memberi 2.5, yang bukan luas.

2Antiterbitan dan petua kuasa

Pengamiran ialah pembezaan secara terbalik. Antiterbitan F bagi f ialah fungsi yang terbitannya ialah f.

Oleh sebab (x³)′ = 3x², antiterbitan bagi 3x² ialah x³. Sebarang pemalar boleh ditambah, maka kita menulis ∫3x² dx = x³ + C.

Petua kuasa untuk kamiran: naikkan kuasa sebanyak satu, kemudian bahagikan dengan kuasa baharu.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Faktor malar kekal di hadapan: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Pemalar sahaja: ∫4 dx = 4x + C.
  • Dalam hasil tambah, kamirkan setiap sebutan secara berasingan.

Pelajari juga ini: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x dan ∫sin x dx = −cos x.

Anda sentiasa boleh menyemak antiterbitan: bezakannya, dan anda mesti mendapat semula fungsi asal.

Semakan kendiri Apakah ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Jawapan: 2x³ + C. Naikkan kuasa kepada 3 dan bahagikan dengan 3: 6x³/3 = 2x³. 12x ialah terbitan, bukan kamiran, dan 6x³ terlupa membahagi dengan kuasa baharu.

3Kamiran tentu dan luas

Kamiran tentu mempunyai had dan memberi satu nombor. Cari antiterbitan F, kemudian tolak nilainya pada kedua-dua had.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Pemalar C terbatal dalam penolakan, maka anda boleh meninggalkannya di sini.

Contoh: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296, kerana ln 1 = 0.

Penggantian membantu apabila sesuatu fungsi berada di dalam fungsi lain. Bagi e0.5x, tetapkan u = 0.5x. Hasilnya ialah petua di atas: bahagikan dengan 0.5.

∫03 e0.5x dx = 2e0.5x |03 = 2(e1.5 − 1) ≈ 6.963

Luas antara dua lengkung ialah kamiran lengkung atas tolak lengkung bawah, antara titik di mana ia bertemu.

Bagi y = 2x dan y = x², lengkung bertemu pada x = 0 dan x = 2. Pada selang itu 2x berada di atas.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Semakan kendiri Lengkung y = x dan y = x² bertemu pada x = 0 dan x = 1. Antara keduanya, y = x berada di atas. Apakah luas yang dikelilingi?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Jawapan: 1/6. ∫(x − x²) dx dari 0 hingga 1 ialah 1/2 − 1/3 = 1/6. Mengambil bawah tolak atas memberi −1/6, dan menambah kedua-dua kamiran memberi 5/6.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tulis semula fungsi sebagai hasil tambah sebutan ringkas. Tulis punca dan pecahan sebagai kuasa: √x = x1/2.
  2. Cari antiterbitan bagi setiap sebutan dengan petua kuasa atau kamiran piawai.
  3. Semak dengan pantas dengan membezakan dalam kepala.
  4. Bagi kamiran tentu, kira F(b) dan F(a) secara berasingan.
  5. Tolak: F(b) − F(a). Berhati-hati dengan tanda tolak apabila a negatif.

Bagi luas antara lengkung, selesaikan dahulu f(x) = g(x) untuk mencari had, kemudian kamirkan atas tolak bawah.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Nilaikan I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Kamirkan sebutan demi sebutan

3x² memberi 3x³/3 = x³. 2x memberi 2x²/2 = x². Pemalar 1 memberi x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Semak dengan membezakan

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Ini ialah fungsi asal, maka F betul.

3

Nilai pada had atas

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Nilai pada had bawah

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Tolak

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Kamiran ialah luas berlorek di bawah lengkung antara x = 0 dan x = 2.

Jawapan

I = 14

6Kesilapan lazim

  • Terlupa membahagi dengan kuasa baharu.
  • Membezakan dan bukannya mengamir: merendahkan kuasa dan bukannya menaikkannya.
  • Menulis ∫1/x dx sebagai x⁰/0. Petua kuasa tidak berfungsi untuk n = −1; gunakan ln|x|.
  • Terlupa tanda tolak dalam F(a) apabila a negatif, contohnya (−1)³ = −1.
  • Terlupa + C dalam kamiran tak tentu, atau tidak menukar had selepas penggantian.
Semakan kendiri Apakah ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Jawapan: 4. F(x) = x⁴/4, maka F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Terlupa membahagi dengan kuasa baharu 4 memberi 16.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: kamiran tentu bagi polinomial, kadangkala dengan had negatif. Gunakan petua kuasa dan F(b) − F(a).
  • Sederhana: eksponen, log dan penggantian, seperti ∫e0.5x dx atau ∫3/x dx antara dua had.
  • Sukar: luas yang dikelilingi oleh dua lengkung, seperti y = x² dan y = 4x. Cari di mana ia bertemu, kemudian kamirkan atas tolak bawah.

Semakan pantas: luas yang dikelilingi oleh dua lengkung sentiasa positif. Jika anda mendapat nombor negatif, anda menolak dalam susunan yang salah.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xy3y = 0.5x

Rantau di bawah y = 0.5x dari x = 0 ke x = 3 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

Cari nilai V

Tunjukkan petunjuk
  1. Hirisan pada x ialah cakera berjejari y = 0.5x.
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀3 0.25x² dx

Kamirkan

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

Jawapan

V = 7.069

Semakan: kon berjejari 1.5 dan tinggi 3 mempunyai (1/3)πr²h = 7.069.

Contoh 2Sederhana
xy2y = x·cos x

Nilaikan I = ∫₀2 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀2 x·cos x dx

Cari nilai I

Tunjukkan petunjuk
  1. Ambil u = x dan dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiterbitan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Had

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

Jawapan

I = 0.4024
Contoh 3Sukar
xyy = 2x2​y = x

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 2x2 dan y = x.

y = 2x2y = x

Cari nilai A

Tunjukkan petunjuk
  1. Mula-mula cari di mana lengkung bertemu: samakan kedua-duanya.
  2. Ia bertemu pada x = 0 dan x = 0.5. Antara kedua-duanya garis terletak di atas parabola.
  3. A = ∫00.5 (x − 2x2) dx.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Titik persilangan

2x2 = x → x = 0, x = 0.5

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x2 − 0.6667x3]00.5 = 0.04167

Jawapan

A = 0.04167

Soalan dan jawapan

Apakah Kamiran?

Kamiran menjumlahkan kuantiti yang berubah. Gambaran paling jelas ialah luas di bawah graf.

Sebuah kereta memandu pada 20 m/s selama 5 s. Ia melalui 20 · 5 = 100 m. Pada graf laju–masa, itu ialah luas segi empat tepat di bawah garis.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Kamiran langkah demi langkah?
  1. Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
  2. Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk ex, 1/x, sin dan cos.
  3. Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
  4. Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).
Apakah kesilapan lazim dalam Kamiran?
  • Terlupa membahagi dengan kuasa baharu.
  • Tidak menukar had selepas penggantian.
  • Terlupa + C dalam kamiran tak tentu.
Apakah yang diliputi oleh latihan Kamiran?
  • Mudah: polinomial
  • Sederhana: eksponen, log dan penggantian
  • Sukar: luas antara lengkung

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Terbitan

Teruskan dengan

Konvolusi & sistem LTITransformasi LaplaceKalkulus multipemboleh ubahKaedah berangkaPersamaan pembezaan

Kalkulator

Kalkulator kamiran (tentu dan tak tentu)

Kursus dengan topik ini

Kalkulus 1Matematik KejuruteraanPersamaan PembezaanMatematik Kejuruteraan 2Kalkulus 2Soalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Kamiran dengan jawapan
Berlatih Kamiran secara percumaBerlatih Kamiran sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.