Jujukan & siri: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Jujukan & siri percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: siri aritmetik dan geometri, penumpuan dan siri kuasa, polinomial Taylor dan Maclaurin.

Soalan latihan percumaMudah
kak​12345678

Cari hasil tambah S8 bagi 8 sebutan pertama jujukan geometri 5, 7.5, 11.25, …

a₁ = 5r = 1.5n = 8
Soalan seterusnya →
Berlatih Jujukan & siri secara percumaBerlatih Jujukan & siri sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahsiri aritmetik dan geometri
  2. Sederhanapenumpuan dan siri kuasa
  3. Sukarpolinomial Taylor dan Maclaurin

Cara menyelesaikan soalan Jujukan & siri

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Kesilapan lazim

  • Menggunakan n dan bukan n − 1 dalam aₙ = a₁ + (n − 1)d atau a₁rⁿ⁻¹.
  • Menggunakan rumus hasil tambah tak terhingga apabila |r| ≥ 1, atau dengan sebutan pertama yang salah.
  • Menyimpulkan penumpuan hanya kerana sebutan menuju 0.
  • Menyongsangkan had ujian nisbah: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, bukan salingannya.
  • Terlupa faktorial atau tanda berselang-seli dalam polinomial Taylor.

Formula utama

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Pelajari Jujukan & siri dari awal

Sebelum ini: Had, Terbitan

1Jujukan aritmetik dan geometri

Jujukan ialah senarai nombor a₁, a₂, a₃, … dan siri ialah hasil tambahnya. Dua jenis muncul dalam setiap peperiksaan.

Jujukan aritmetik menambah beza yang sama d pada setiap langkah: 3, 7, 11, 15, … mempunyai d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Untuk 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 dan S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Perhatikan n − 1: dari sebutan pertama ke sebutan ke-20 hanya terdapat 19 langkah.

Jujukan geometri mendarab dengan nisbah yang sama r pada setiap langkah: 2, 6, 18, … mempunyai r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Semakan kendiri Apakah sebutan ke-10 bagi 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Jawapan: 32. d = 3, maka a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Menggunakan 10·3 dan bukan 9·3 memberi 35.

2Siri geometri tak terhingga

Teruskan menambah sebutan 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + … dan hasil tambahnya merayap naik ke 4 tanpa pernah melepasinya.

nSₙ4123456789233.5

Apabila |r| < 1, sebutan rⁿ dalam Sₙ mengecil kepada 0, dan hasil tambah tak terhingga wujud:

S = a₁/(1 − r), hanya bagi |r| < 1

Di sini a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah. Untuk Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ sebutan pertama ialah 8·(1/2)² = 2, maka S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Apabila |r| ≥ 1, sebutan tidak mengecil dan siri itu tidak mempunyai hasil tambah: ia mencapah.

Semakan kendiri Apakah Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2.4
  3. 3
  4. 4

Jawapan: 4. Sebutan pertama (k = 0) ialah 3 dan r = 1/4, maka S = 3/(1 − 1/4) = 4. Menggunakan 1 + r pada penyebut memberi 2.4.

3Adakah siri menumpu?

Kebanyakan siri tidak mempunyai rumus hasil tambah yang ringkas, tetapi anda masih boleh menentukan sama ada hasil tambahnya terhingga. Gunakan ujian dalam urutan ini:

  1. Ujian sebutan ke-n: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah. Σ k/(k + 1) mencapah kerana sebutannya menuju 1.
  2. Siri piawai: Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1 (maka Σ1/k, siri harmonik, mencapah). Σrᵏ menumpu hanya untuk |r| < 1.
  3. Perbandingan: 1/(k² + 3) lebih kecil daripada 1/k², maka Σ1/(k² + 3) juga menumpu.
  4. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak memberi jawapan. Gunakannya untuk faktorial dan kuasa k.
  5. Siri berselang-seli: Σ(−1)ᵏ/k menumpu, kerana sebutan berselang-seli tanda dan menurun kepada 0.

Contoh: untuk Σ k/2ᵏ nisbahnya ialah ((k + 1)/k)·(1/2), yang menuju L = 1/2 < 1, maka ia menumpu.

Semakan kendiri Siri manakah antara berikut yang mencapah?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Jawapan: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 ialah siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1, maka ia mencapah. 1/k² mempunyai p = 2, (2/3)ᵏ ialah geometri dengan r < 1, dan ujian nisbah memberi L = 0 untuk 3ᵏ/k!.

4Siri kuasa dan jejari penumpuan

Siri kuasa Σ ck(x − x₀)ᵏ ialah polinomial yang tidak berpenghujung. Ia menumpu untuk x yang cukup dekat dengan pusat x₀.

Ujian nisbah pada keseluruhan sebutan memberi jejari penumpuan R: siri menumpu untuk |x − x₀| < R dan mencapah untuk |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Contoh: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) mempunyai ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, yang menuju 3. Maka R = 3 dan siri menumpu untuk −3 < x < 3.

Pada kedua-dua titik hujung ujian itu tidak memberi jawapan; semaknya secara berasingan jika soalan meminta selang penuh.

5polinomial Taylor dan Maclaurin

Berhampiran titik a, fungsi licin kelihatan seperti polinomial. Polinomial Taylor berdarjah n sepadan dengan nilai dan n terbitan pertama pada a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Untuk a = 0 ia dipanggil polinomial Maclaurin. Hafal siri ini:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Semakin banyak sebutan yang anda ambil, semakin lama polinomial itu kekal dekat dengan fungsi.

Contoh terselesai

Anggarkan e0.5 dengan polinomial Maclaurin berdarjah 3, dan beri had ralat.

1

Tulis polinomial itu

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Gantikan x = 0.5

P₃(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 = 1.645833
3

Had ralat Lagrange

Ralatnya paling banyak M·|x|⁴/4!, dengan M ialah nilai terbesar terbitan ke-4 eᵗ antara 0 dengan 0.5: M = e0.5 ≈ 1.6487.

|R₃| ≤ 1.6487·0.5⁴/24 = 0.0043
4

Bandingkan

Kalkulator memberi e0.5 = 1.648721, maka ralat sebenar ialah 0.0029, dalam had itu.

Jawapan

e0.5 ≈ 1.6458, dengan ralat paling banyak 0.0043.

6Kesilapan lazim dan soalan peperiksaan

  • Menggunakan n dan bukan n − 1 langkah untuk sebutan ke-n.
  • Menulis a/(1 − r) dengan sebutan pertama yang salah apabila hasil tambah tidak bermula pada k = 0.
  • Menyimpulkan bahawa siri menumpu kerana sebutannya menuju 0. Σ1/k ialah contoh penyangkal.
  • Terlupa faktorial dalam polinomial Taylor, atau tanda tolak bagi sin dan cos.
  • Menggunakan |x|ⁿ/n! dan bukan |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dalam had ralat.

Mudah: hasil tambah jujukan aritmetik dan geometri. Sederhana: menentukan penumpuan, ujian nisbah dan jejari penumpuan. Sukar: polinomial Taylor, pekalinya dan had ralat.

Semakan kendiri Apakah pekali x³ dalam siri Maclaurin bagi sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Jawapan: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, dan 3! = 6, maka pekalinya ialah −1/6. Terlupa tanda tolak memberi 1/6.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
kak​13579111315ε = 0.2

Jujukan geometri aₙ = 5·0.85ⁿ⁻¹ menurun. Cari indeks pertama n supaya aₙ < 0.2.

a₁ = 5r = 0.85ε = 0.2

Cari nilai n

Tunjukkan petunjuk
  1. Selesaikan 5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 dengan logaritma.
  2. ln 0.85 adalah negatif: membahagi dengannya membalikkan ketaksamaan.
  3. n − 1 > ln(0.2/5)/ln 0.85 = 19.81
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Siri aritmetik dan geometri: jujukan aritmetik menambah beza sepunya d yang sama pada setiap langkah, aₙ = a₁ + (n − 1)d, dan hasil tambahnya ialah Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Jujukan geometri mendarab dengan nisbah sepunya r yang sama, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, dengan Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Apabila |r| < 1, sebutan mengecil dengan cukup cepat supaya hasil tambah tak terhingga wujud: S = a₁/(1 − r), dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah itu.

Ketaksamaan

5·0.85ⁿ⁻¹ < 0.2 → 0.85ⁿ⁻¹ < 0.04

Logaritma

(n − 1)·ln 0.85 < ln 0.04 → n − 1 > 19.81
n = 21

Semakan

a20 = 0.227997 ≥ 0.2
a21 = 0.193798 < 0.2

Jawapan

n = 21
Contoh 2Sederhana
kSn​12345678910S = ?

Cari hasil tambah S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Cari nilai S

Tunjukkan petunjuk
  1. Pecahan separa: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Tulis beberapa sebutan pertama: kebanyakannya saling membatalkan (hasil tambah teleskop).
  3. Yang tinggal ialah (12/3)·(1 + … + 1/3).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

Jawapan

S = 7.333
Contoh 3Sukar

f(x) = cos x dianggarkan pada x = 1 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Cari nilai n

Tunjukkan petunjuk
  1. Cuba n = 1, 2, 3, … dan hitung 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! setiap kali.
  2. Faktorial bertambah dengan cepat, maka beberapa langkah sudah memadai.
  3. Berhenti pada n pertama yang hadnya di bawah 1 × 10⁻⁶.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

n(n + 1)!had011120.5260.16673240.0416741200.00833357200.001389650400.00019847403202.48 × 10⁻⁵83628802.756 × 10⁻⁶936288002.756 × 10⁻⁷

Had untuk n yang meningkat

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2.756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Darjah terkecil

n = 9

Jawapan

n = 9

Soalan dan jawapan

Apakah Jujukan & siri?

Jujukan aritmetik menambah beza yang sama d pada setiap langkah: 3, 7, 11, 15, … mempunyai d = 4.

Untuk 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 dan S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Perhatikan n − 1: dari sebutan pertama ke sebutan ke-20 hanya terdapat 19 langkah.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Jujukan & siri langkah demi langkah?
  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Apakah kesilapan lazim dalam Jujukan & siri?
  • Menggunakan n dan bukan n − 1 dalam aₙ = a₁ + (n − 1)d atau a₁rⁿ⁻¹.
  • Menggunakan rumus hasil tambah tak terhingga apabila |r| ≥ 1, atau dengan sebutan pertama yang salah.
  • Menyimpulkan penumpuan hanya kerana sebutan menuju 0.
  • Menyongsangkan had ujian nisbah: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, bukan salingannya.
  • Terlupa faktorial atau tanda berselang-seli dalam polinomial Taylor.
Apakah yang diliputi oleh latihan Jujukan & siri?
  • Mudah: siri aritmetik dan geometri
  • Sederhana: penumpuan dan siri kuasa
  • Sukar: polinomial Taylor dan Maclaurin

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

HadTerbitan

Kursus dengan topik ini

Matematik Kejuruteraan 2Kalkulus 2Kaedah BerangkaSoalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Jujukan & siri dengan jawapan
Berlatih Jujukan & siri secara percumaBerlatih Jujukan & siri sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.