Had: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Had percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: penggantian terus dan pemfaktoran, had pada infiniti, Petua L'Hôpital.

Soalan latihan percumaMudah
xy9x = 9

Cari had L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Soalan seterusnya →
Berlatih Had secara percumaBerlatih Had sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahpenggantian terus dan pemfaktoran
  2. Sederhanahad pada infiniti
  3. SukarPetua L'Hôpital

Formula utama

Penggantian terus
cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti
bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Petua L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pelajari Had dari awal

1Apakah had

Had menerangkan nilai yang didekati oleh fungsi apabila x menghampiri suatu nombor. Apa yang berlaku tepat pada nombor itu tidak penting.

Ambil f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Pada x = 1 anda mendapat 0/0, yang tiada nilai. Tetapi anda boleh mencuba nombor yang hampir dengan 1.

  • x = 0.9 memberi f = 1.9.
  • x = 0.99 memberi f = 1.99.
  • x = 1.01 memberi f = 2.01.

Nilai-nilai itu semakin hampir dengan 2. Kita menulis:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Grafnya ialah garis lurus dengan satu titik hilang, lubang pada (1, 2). Had ialah ketinggian lubang itu.

Semakan kendiri Fungsi g memberi g(2.9) = 5.9, g(2.99) = 5.99 dan g(3.01) = 6.01. Ia tidak ditakrifkan pada x = 3. Apakah had apabila x → 3?
  1. 3
  2. 5.99
  3. 6
  4. Ia tidak wujud, kerana g(3) tidak ditakrifkan

Jawapan: 6. Nilai-nilai menghampiri 6 dari kedua-dua belah, maka had ialah 6. Had hanya melihat nilai berhampiran x = 3, tidak pernah pada x = 3 itu sendiri.

2Penggantian, 0/0 dan pemfaktoran

Sentiasa cuba penggantian terus dahulu: masukkan nombor. Jika anda mendapat nombor biasa, itulah had.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Jika anda mendapat 0/0, anda belum selesai. 0/0 dipanggil bentuk tak tentu: ia isyarat untuk memudahkan, bukan jawapan.

Biasanya pengatas dan penyebut berkongsi faktor yang sifar pada titik itu. Faktorkan kedua-duanya, batalkan faktor sepunya, kemudian ganti semula.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Maka had apabila x → 3 ialah 3 + 3 = 6. Corak pemfaktoran yang berguna:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Kuadratik seperti x² − x − 30 difaktorkan sebagai (x − 6)(x + 5): cari dua nombor yang hasil darabnya −30 dan hasil tambahnya −1.

Dengan punca kuasa dua, darabkan pengatas dan penyebut dengan konjugat: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Semakan kendiri Apakah limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Ia tidak wujud, kerana anda mendapat 0/0

Jawapan: 4. Penggantian memberi 0/0, maka faktorkan: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, iaitu 4 pada x = 2. Berhenti pada 0/0 ialah kesilapan di sebalik “tidak wujud”.

3Had pada infiniti dan petua L’Hôpital

x → ∞ bermakna x bertambah tanpa had. Bagi pecahan polinomial, hanya kuasa tertinggi yang penting apabila x sangat besar.

Bahagikan setiap sebutan dengan kuasa x tertinggi di penyebut. Sebutan seperti 4/x dan 7/x² menuju 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Kuasa tertinggi yang sama pada pengatas dan penyebut: had ialah nisbah pekali pendahulu.
  • Kuasa lebih tinggi di penyebut: had ialah 0.
  • Kuasa lebih tinggi di pengatas: pecahan bertambah tanpa had, maka tiada had terhingga.

Bagi √(x² + 6x) − x, darabkan dengan konjugat. Anda mendapat 6x/(√(x² + 6x) + x), yang menuju 6/(1 + 1) = 3.

Petua L’Hôpital: jika penggantian memberi 0/0 atau ∞/∞, anda boleh menggantikan pengatas dan penyebut dengan terbitannya, masing-masing secara berasingan.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Jika anda mendapat 0/0 lagi, gunakan petua sekali lagi. Had trigonometri sentiasa menggunakan x dalam radian.

Semakan kendiri Apakah limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Jawapan: 2. Kuasa tertinggi sama (x²), maka had ialah nisbah pekali pendahulu: 4/2 = 2. ½ datang daripada membahagi secara terbalik.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Gantikan nombor itu. Nombor biasa ialah jawapannya.
  2. Jika anda mendapat 0/0, faktorkan pengatas dan penyebut, atau darabkan dengan konjugat jika ada punca kuasa dua.
  3. Batalkan faktor sepunya dan ganti semula.
  4. Jika x → ∞, bahagikan setiap sebutan dengan kuasa x tertinggi dan biarkan sebutan seperti a/x menuju 0.
  5. Jika pemfaktoran tidak berjaya (eˣ, sin, cos, ln), gunakan petua L’Hôpital pada bentuk 0/0 atau ∞/∞.
  6. Semak dengan nombor yang sangat hampir dengan titik itu, contohnya x = 1.001.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Cari L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Cuba penggantian

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Ini ialah bentuk tak tentu 0/0, maka anda mesti memudahkan dahulu.

2

Faktorkan pengatas

8 = 2³, maka pengatas ialah hasil tambah kubus dengan a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Batalkan faktor sepunya

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Ini dibenarkan kerana x hanya menghampiri −2, maka x + 2 tidak pernah tepat 0.

4

Ganti semula

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Semak jawapan

Cuba x = −1.99: (−7.880599 + 8)/0.01 = 11.94, yang hampir dengan 12.

xy−212

Grafnya ialah parabola x² − 2x + 4 dengan lubang pada (−2, 12).

Jawapan

L = 12

6Kesilapan lazim

  • Menulis 0/0 sebagai jawapan, atau mengatakan had tidak wujud. 0/0 bermakna: permudahkan dahulu.
  • Menggunakan petua L’Hôpital apabila penggantian tidak memberi 0/0 atau ∞/∞.
  • Menggunakan petua hasil bahagi dalam petua L’Hôpital. Bezakan pengatas dan penyebut secara berasingan.
  • Pada infiniti, membandingkan sebutan pertama yang ditulis dan bukannya kuasa tertinggi.
  • Menggunakan darjah dan bukannya radian dalam had dengan sin atau cos.
Semakan kendiri Apakah limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Ia tidak wujud

Jawapan: 1. Penggantian memberi 2/2 = 1, nombor biasa, maka itulah had. Menggunakan L’Hôpital di sini (2x/1 = 2) adalah salah, kerana bentuknya bukan 0/0.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: penggantian terus dan pemfaktoran. Penggantian memberi 0/0, kemudian anda memfaktorkan dan membatalkan, seperti dalam contoh.
  • Sederhana: had pada infiniti. Bahagikan dengan kuasa tertinggi, atau gunakan konjugat untuk punca seperti √(x² + 4x) − x.
  • Sukar: petua L’Hôpital, contohnya (eˣ − 1 − x)/x² atau (1 − cos 3x)/x² apabila x → 0. Anda mungkin memerlukan petua itu dua kali.

Semakan pantas: masukkan nombor yang sangat hampir dengan titik itu menggunakan kalkulator. Hasilnya patut hampir dengan jawapan anda.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xyx = 1

Cari had L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Cari nilai L

Tunjukkan petunjuk
  1. Penggantian memberikan 0/0. Faktorkan pengangka.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Cuba penggantian terus

pengangka → 0 dan penyebut → 0, jadi bentuknya ialah 0/0.

Faktorkan dan batalkan

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Gantikan

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Jawapan

L = 4

Ini ialah terbitan xⁿ pada x = a: n·aⁿ⁻¹.

Contoh 2Sederhana
xyy = L

Cari had L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Cari nilai L

Tunjukkan petunjuk
  1. Bentuknya ialah 1^∞. Tulis L = e^(ln L) dan cari ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Bagi u yang kecil, ln(1 + u) ≈ u. Di sini u = 1/x.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Buat songsangan logaritma

L = e1 = 2.718

Jawapan

L = 2.718
Contoh 3Sukar
xyx = 0

Cari had L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Cari nilai L

Tunjukkan petunjuk
  1. Pada x = 0: ln 1 = 0 dan sin 0 = 0, maka bentuknya ialah 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Gantikan x = 0 ke dalam f′/g′.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Petua L'Hôpital

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Gantikan x = 0

L = 2/3 = 0.6667

Jawapan

L = 0.6667

Soalan dan jawapan

Apakah Had?

Had menerangkan nilai yang didekati oleh fungsi apabila x menghampiri suatu nombor. Apa yang berlaku tepat pada nombor itu tidak penting.

Ambil f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Pada x = 1 anda mendapat 0/0, yang tiada nilai. Tetapi anda boleh mencuba nombor yang hampir dengan 1.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Had langkah demi langkah?

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Apakah kesilapan lazim dalam Had?
  • Kekalkan setiap sebutan faktor kedua: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), dan pada x = a kesemua n sebutan adalah sama.
  • Bentuk 1^∞ ialah tak tentu, bukan 1. Ambil logaritma asli dahulu.
  • Kekalkan terbitan pengangka di atas: lim f/g = lim f′/g′.
Apakah yang diliputi oleh latihan Had?
  • Mudah: penggantian terus dan pemfaktoran
  • Sederhana: had pada infiniti
  • Sukar: Petua L'Hôpital

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Teruskan dengan

TerbitanJujukan & siri

Kursus dengan topik ini

Kalkulus 1Matematik KejuruteraanSoalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

TerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Had dengan jawapan
Berlatih Had secara percumaBerlatih Had sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.