Selang keyakinan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Selang keyakinan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: selang z, selang t, saiz sampel.

Soalan latihan percumaMudah
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Dalam satu tinjauan pendapat terhadap 100 pengundi yang dipilih secara rawak, 55 menyokong satu cadangan. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk perkadaran penyokong.

n = 100x = 5590%
Soalan seterusnya →
Berlatih Selang keyakinan secara percumaBerlatih Selang keyakinan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahselang z
  2. Sederhanaselang t
  3. Sukarsaiz sampel

Cara menyelesaikan soalan Selang keyakinan

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Kesilapan lazim

  • Terlupa membahagi dengan √n.
  • Menggunakan z apabila sampel kecil dan σ tidak diketahui.
  • Membundarkan saiz sampel ke bawah dan bukannya ke atas.

Formula utama

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Pelajari Selang keyakinan dari awal

Sebelum ini: Taburan normal

1Apa itu selang keyakinan

Anda mahu min μ bagi seluruh populasi, contohnya jangka hayat purata semua bateri yang dikeluarkan oleh sebuah kilang. Anda tidak boleh menguji semuanya, jadi anda menguji satu sampel yang terdiri daripada n bateri.

Min sampel x̄ ialah anggaran terbaik anda bagi μ, tetapi sampel lain akan memberikan x̄ yang sedikit berbeza. Satu nombor tunggal menyembunyikan ketidakpastian itu.

Selang keyakinan memberikan julat sebaliknya: x̄ tolak satu margin, hingga x̄ tambah satu margin.

55x̄52.0657.94E = 2.94E = 2.94

Selang keyakinan 95% dibina dengan kaedah yang menangkap μ sebenar dalam 95% daripada semua sampel. Tahap keyakinan yang lebih tinggi memberikan selang yang lebih lebar.

Semakan kendiri Anda mengira selang keyakinan 90% dan 99% daripada sampel yang sama. Yang manakah lebih lebar?
  1. Bergantung pada min sampel
  2. Kedua-duanya sama lebar
  3. Selang 90%
  4. Selang 99%

Jawapan: Selang 99%. Untuk lebih yakin bahawa selang itu mengandungi μ, ia mesti lebih lebar. Nilai genting 99%, 2.576, lebih besar daripada nilai 90%, 1.645.

2Selang z

Apabila sisihan piawai populasi σ diketahui, selangnya ialah:

x̄ ± z · σ / √n

Sebutan σ/√n ialah ralat piawai: berapa banyak x̄ berubah dari sampel ke sampel. Sampel yang lebih besar memberikan ralat piawai yang lebih kecil.

Nilai genting z bergantung pada tahap keyakinan. Hafal tiga nilai ini:

  • 90%: z = 1.645
  • 95%: z = 1.96
  • 99%: z = 2.576

Margin ralat ialah E = z · σ/√n. Selang itu bermula dari x̄ − E (had bawah) hingga x̄ + E (had atas).

Semakan kendiri Satu sampel 64 mempunyai min 55. σ populasi ialah 12. Berapakah had atas selang keyakinan 95%?
  1. 55.37
  2. 57.47
  3. 57.94
  4. 78.52

Jawapan: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94, jadi had atasnya 57.94. Terlupa √n memberikan 78.52, dan 57.47 menggunakan nilai 90% iaitu 1.645.

3Selang t dan saiz sampel

Lazimnya σ tidak diketahui. Maka anda menggunakan sisihan piawai sampel s, dan nilai genting datang daripada taburan t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Bilangan darjah kebebasan df ialah n − 1. Nilai t lebih besar daripada z, jadi selangnya lebih lebar: ia mengambil kira ketidakpastian tambahan dalam s. Bagi n yang besar, t menghampiri z.

Pada 95%: t = 2.262 bagi df = 9, t = 2.131 bagi df = 15 dan t = 2.045 bagi df = 29.

Kadangkala anda mesti merancang saiz sampel: seberapa besarkah n untuk margin ralat sekurang-kurangnya E? Selesaikan E = zσ/√n untuk n:

n = (z · σ / E)²

Sentiasa bundarkan ke atas kepada nombor bulat seterusnya. Membundarkan ke bawah akan memberikan margin yang sedikit lebih besar daripada E.

Semakan kendiri σ = 13. Seberapa besarkah sampel untuk selang 95% dengan margin ralat paling besar 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Jawapan: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3, dibundarkan ke atas kepada 163. Membundarkan ke bawah kepada 162 memberikan margin sedikit melebihi 2, dan 13 terlupa menguasaduakan.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tulis n, x̄, dan σ atau s.
  2. Pilih z (σ diketahui) atau t dengan df = n − 1 (hanya s diketahui).
  3. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  4. Hitung ralat piawai: σ/√n atau s/√n.
  5. Margin ralat: E = nilai genting × ralat piawai.
  6. Selang: dari x̄ − E hingga x̄ + E. Berikan had yang diminta.

Bagi soalan saiz sampel: n = (zσ/E)², dibundarkan ke atas.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Satu sampel 16 item mempunyai min 40 dan sisihan piawai s = 6. Populasi adalah hampir normal. Cari selang keyakinan 95% bagi min.

1

z atau t?

Hanya sisihan piawai sampel s yang diketahui, bukan σ. Jadi gunakan t dengan df = n − 1 = 15.

t(15) = 2.131 at 95%
2

Ralat piawai

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1.5
3

Margin ralat

E = 2.131 · 1.5 = 3.197
4

Selang

40 − 3.197 = 36.80, 40 + 3.197 = 43.20
40x̄36.8043.20E = 3.20E = 3.20
5

Semak jawapan

Dengan z = 1.96 margin ialah 2.94. Selang t sedikit lebih lebar, sebagaimana sepatutnya apabila σ tidak diketahui.

Jawapan

Selang keyakinan 95% ialah [36.80, 43.20].

6Kesilapan lazim

  • Terlupa membahagi dengan √n.
  • Menggunakan z apabila sampel kecil dan σ tidak diketahui.
  • Menggunakan df = n dan bukan df = n − 1 bagi t.
  • Menggunakan nilai 90%, 1.645, bagi selang 95%.
  • Membundarkan saiz sampel ke bawah dan bukannya ke atas.
Semakan kendiri Satu sampel n = 10 mempunyai sisihan piawai s = 5. σ tidak diketahui. Nilai genting yang manakah anda gunakan bagi selang 95%?
  1. t = 2.228 (df = 10)
  2. t = 2.262 (df = 9)
  3. z = 1.645
  4. z = 1.96

Jawapan: t = 2.262 (df = 9). σ tidak diketahui, jadi gunakan t dengan df = n − 1 = 9. Menggunakan z mengabaikan ketidakpastian dalam s, dan df = 10 terlupa tolak satu.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: selang z. σ diketahui; cari had bawah atau had atas.
  • Sederhana: selang t. Hanya s diberi; nilai t dengan n − 1 darjah kebebasan diberi atau datang daripada jadual.
  • Sukar: saiz sampel. Cari n terkecil bagi margin ralat tertentu, dan bundarkan ke atas.

Semakan pantas: min sampel sentiasa terletak tepat di tengah selang.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174.5E90%

Satu sampel 200 ukuran mempunyai min 174.5. Sisihan piawai populasi diketahui ialah 30. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 200x̄ = 174.5σ = 3090%

Cari nilai had atas

Tunjukkan petunjuk
  1. σ diketahui, jadi gunakan nilai genting z.
  2. z = 1.645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Margin ralat

E = 1.645·30/√200 = 3.49

Selang

x̄ ± E = 174.5 ± 3.49 → [171, 178]

Jawapan

had atas = 178
Contoh 2Sederhana
x̄E₁ = 7.895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 7.8. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 100 cerapan?

95%n₁ = 50E₁ = 7.8n₂ = 100

Cari nilai E₂

Tunjukkan petunjuk
  1. E = z·σ/√n, dan σ kekal sama.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1.96, z₂ = 1.96.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/100) = 0.7071

Margin baharu

E₂ = 7.8·0.7071 = 5.515

Jawapan

E₂ = 5.515
Contoh 3Sukar
n = 21Lσ = ?s = 1.295%

Diameter 21 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 1.2 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 20, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 9.591 dan 2.5% terletak di atas 34.17.

n = 21s = 1.2 µmχ² = 9.591, 34.17

Cari nilai σ (µm)

Tunjukkan petunjuk
  1. Bagi populasi normal, (n − 1)s²/σ² mengikut taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1.
  2. Selang bagi σ²: daripada (n − 1)s²/34.17 hingga (n − 1)s²/9.591. Ambil punca kuasa dua untuk σ.
  3. (n − 1)s² = 28.8.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 20·1.2² = 28.8

Had bagi σ²

28.8/34.17 = 0.8428
28.8/9.591 = 3.003

Had bagi σ

σ = √3.003 = 1.733 µm

Jawapan

σ = 1.733 µm

Selang 95% bagi σ: [0.9181, 1.733] µm.

Soalan dan jawapan

Apakah Selang keyakinan?

Anda mahu min μ bagi seluruh populasi, contohnya jangka hayat purata semua bateri yang dikeluarkan oleh sebuah kilang. Anda tidak boleh menguji semuanya, jadi anda menguji satu sampel yang terdiri daripada n bateri.

Min sampel x̄ ialah anggaran terbaik anda bagi μ, tetapi sampel lain akan memberikan x̄ yang sedikit berbeza. Satu nombor tunggal menyembunyikan ketidakpastian itu.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Selang keyakinan langkah demi langkah?
  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.
Apakah kesilapan lazim dalam Selang keyakinan?
  • Terlupa membahagi dengan √n.
  • Menggunakan z apabila sampel kecil dan σ tidak diketahui.
  • Membundarkan saiz sampel ke bawah dan bukannya ke atas.
Apakah yang diliputi oleh latihan Selang keyakinan?
  • Mudah: selang z
  • Sederhana: selang t
  • Sukar: saiz sampel

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Taburan normal

Teruskan dengan

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Kalkulator

Kalkulator selang keyakinanKalkulator saiz sampel

Kursus dengan topik ini

Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk PsikologiStatistik PengenalanStatistik 2: Inferens StatistikAmalan Berasaskan BuktiSoalan latihan AP StatisticsLatihan kaedah kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Selang keyakinan dengan jawapan
Berlatih Selang keyakinan secara percumaBerlatih Selang keyakinan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.