Regresi linear & korelasi: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Regresi linear & korelasi percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: kecerunan dan pintasan, pekali korelasi, ramalan.

Soalan latihan percumaMudah
xy242352445555660760xy2465060

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Cari pintasan a.

n = 6
Soalan seterusnya →
Berlatih Regresi linear & korelasi secara percumaBerlatih Regresi linear & korelasi sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahkecerunan dan pintasan
  2. Sederhanapekali korelasi
  3. Sukarramalan

Formula utama

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Pelajari Regresi linear & korelasi dari awal

Sebelum ini: Statistik perihalan

1Apakah regresi

Anda mengukur dua kuantiti bagi setiap kes, contohnya x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Setiap pasangan ialah satu titik dalam plot serakan.

xy123456246810

Jika titik-titik terletak kira-kira di sepanjang garis lurus, anda boleh menerangkannya dengan satu garis dan menggunakannya untuk meramalkan y daripada x. Ini ialah regresi linear.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y topi”) ialah nilai ramalan bagi y.
  • b ialah kecerunan: berapa banyak ŷ berubah apabila x bertambah 1.
  • a ialah pintasan: nilai ŷ pada x = 0.
Semakan kendiri Satu garis regresi ialah ŷ = 40 + 5x, dengan x dalam jam belajar dan ŷ skor ramalan. Apakah maksud 5?
  1. Garis itu melalui (5, 40)
  2. Pelajar yang tidak belajar mendapat skor 5
  3. Setiap jam tambahan menambah kira-kira 5 mata
  4. Skor ialah 5 kali jam

Jawapan: Setiap jam tambahan menambah kira-kira 5 mata. Kecerunan b ialah perubahan dalam ŷ bagi setiap unit x. Skor ramalan pada x = 0 ialah pintasan a = 40, bukan 5.

2Garis kuasa dua terkecil

Tiada garis yang melalui setiap titik. Jarak mencancang dari titik ke garis ialah reja titik itu, e = y − ŷ.

Garis kuasa dua terkecil ialah garis dengan hasil tambah reja kuasa dua yang paling kecil. Kecerunan dan pintasannya diperoleh daripada hasil tambah sisihan daripada min:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Garis itu sentiasa melalui titik min (x̄, ȳ). Itulah sebabnya a = ȳ − b · x̄.

Jika hanya hasil tambah diberi, gunakan jalan pintas Sxx = Σx² − (Σx)²/n dan Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Semakan kendiri Untuk set data, x̄ = 4, ȳ = 10 dan b = 2. Apakah pintasan a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Jawapan: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Menambah dan bukannya menolak memberikan 18, dan 10 ialah ȳ itu sendiri, yang terlupa kecerunan.

3Pekali korelasi

Pekali korelasi Pearson r mengukur sejauh mana titik-titik terletak dekat dengan garis lurus. Ia sentiasa antara −1 dan 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r hampir 1: aliran menaik yang kuat.
  • r hampir −1: aliran menurun yang kuat, seperti harga kereta berbanding umur kereta.
  • r hampir 0: tiada hubungan garis lurus.

r mempunyai tanda yang sama dengan kecerunan b. Kuasa duanya r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Korelasi yang kuat tidak membuktikan bahawa x menyebabkan y. Kedua-duanya mungkin bergantung pada kuantiti ketiga.

Semakan kendiri Bagi umur kereta x dan harga y, r = −0.95. Apakah yang dinyatakan oleh ini?
  1. Hubungan garis lurus menurun yang kuat
  2. Hubungan yang lemah
  3. Kereta yang lebih tua lebih mahal
  4. Pengiraan itu salah, kerana r negatif

Jawapan: Hubungan garis lurus menurun yang kuat. r hampir −1 bermaksud titik-titik terletak dekat dengan garis menurun: harga jatuh apabila umur meningkat. r negatif adalah sah sepenuhnya; hanya nilai di luar −1 hingga 1 yang mustahil.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Hitung min x̄ dan ȳ.
  2. Buat jadual dengan lajur x − x̄, y − ȳ, hasil darabnya dan (x − x̄)². Tambah (y − ȳ)² jika r ditanya.
  3. Jumlahkan lajur untuk mendapat Sxy, Sxx dan Syy.
  4. Kecerunan b = Sxy/Sxx, kemudian pintasan a = ȳ − b · x̄.
  5. Korelasi r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Ramalan: masukkan x ke dalam ŷ = a + bx. Reja: e = y − ŷ.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Lima pasangan diukur: x = 1, 2, 3, 4, 5 dan y = 3, 5, 6, 8, 8. Cari garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x dan ramalkan ŷ bagi x = 6.

1

Min

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Sisihan

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Hasil tambah

Darabkan pasangan: 6, 1, 0, 2, 4. Kuasa duakan sisihan-x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Kecerunan dan pintasan

b = 13 / 10 = 1.3
a = 6 − 1.3 · 3 = 6 − 3.9 = 2.1
xy123456246810ŷ = 2.1 + 1.3x

Garis putus-putus ialah reja. Ia kecil, jadi garis itu sepadan dengan baik.

5

Ramal

ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 2.1 + 7.8 = 9.9

Semak: garis itu melalui titik min, 2.1 + 1.3 · 3 = 6 = ȳ.

Jawapan

ŷ = 2.1 + 1.3x, dan ramalan bagi x = 6 ialah ŷ = 9.9.

6Kesilapan lazim

  • Mengira reja sebagai ŷ − y dan bukannya y − ŷ.
  • Membahagi dengan Syy dan bukannya Sxx untuk kecerunan.
  • Mencampuradukkan a dan b: kecerunan mendarab x.
  • Terlupa bahawa r mempunyai tanda yang sama dengan kecerunan.
  • Meramal jauh di luar julat data. Garis lurus itu mungkin tidak berlaku di sana.
Semakan kendiri Garis itu ialah ŷ = 2.1 + 1.3x. Satu titik baharu (6, 8) diukur. Apakah rejanya?
  1. 1.9
  2. 17.9
  3. 9.9
  4. −1.9

Jawapan: −1.9. ŷ = 2.1 + 1.3 · 6 = 9.9, jadi e = y − ŷ = 8 − 9.9 = −1.9. Titik itu terletak di bawah garis. 1.9 mengira ŷ − y, iaitu terbalik.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: kecerunan dan pintasan. Lima pasangan dalam jadual; cari b atau a bagi garis kuasa dua terkecil.
  • Sederhana: pekali korelasi r, daripada data atau daripada hasil tambah yang diberi.
  • Sukar: ramalan. Gunakan garis itu untuk meramalkan ŷ bagi x baharu, atau cari reja bagi cerapan baharu.

Semakan pantas: tanda b dan r mesti sepadan dengan arah plot serakan.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xy2441262082210301235xy510102030

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Cari pintasan a.

n = 6

Cari nilai a

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari kecerunan b = Sxy/Sxx dahulu.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20.5.
  3. Garis itu melalui (x̄, ȳ), maka a = ȳ − b·x̄.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Kecerunan

b = 211/70 = 3.014

Pintasan

a = 20.5 − 3.014·7 = −0.6

Jawapan

a = −0.6
Contoh 2Sederhana
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Cari nilai r

Tunjukkan petunjuk
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Pekali korelasi

r = 403/√(70·2443) = 0.9746

Jawapan

r = 0.9746
Contoh 3Sukar
xy123221318412513xy241520x = 1.5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 1.5.

n = 5x = 1.5

Cari nilai ŷ

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari garis kuasa dua terkecil dahulu: b = Sxy/Sxx dan a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17.4.
  3. ŷ = a + b·1.5.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Garis regresi

b = −29/10 = −2.9
a = 17.4 − (−2.9)·3 = 26.1
ŷ = 26.1 − 2.9·x

Ramalan

ŷ = 26.1 + (−2.9)·1.5 = 21.75

Jawapan

ŷ = 21.75

Soalan dan jawapan

Apakah Regresi linear & korelasi?

Anda mengukur dua kuantiti bagi setiap kes, contohnya x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Setiap pasangan ialah satu titik dalam plot serakan.

Jika titik-titik terletak kira-kira di sepanjang garis lurus, anda boleh menerangkannya dengan satu garis dan menggunakannya untuk meramalkan y daripada x. Ini ialah regresi linear.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Regresi linear & korelasi langkah demi langkah?

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Apakah kesilapan lazim dalam Regresi linear & korelasi?
  • Pintasan ialah a = ȳ − b·x̄: garis itu melalui (x̄, ȳ).
  • ȳ ialah ketinggian garis pada x = x̄, bukan pada x = 0. Gunakan a = ȳ − b·x̄.
  • Gunakan pembahagi yang sama (n atau n − 1) dalam kovarians dan dalam kedua-dua sisihan piawai. Dengan Sxy, Sxx dan Syy pembahagi itu saling batal.
Apakah yang diliputi oleh latihan Regresi linear & korelasi?
  • Mudah: kecerunan dan pintasan
  • Sederhana: pekali korelasi
  • Sukar: ramalan

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Statistik perihalan

Kalkulator

Kalkulator regresi linearKalkulator pekali korelasi (Pearson dan Spearman)

Kursus dengan topik ini

Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk PsikologiStatistik PengenalanStatistik 2: Inferens StatistikSoalan latihan AP StatisticsLatihan kaedah kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Regresi linear & korelasi dengan jawapan
Berlatih Regresi linear & korelasi secara percumaBerlatih Regresi linear & korelasi sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.