Kaedah berangka: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Kaedah berangka percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: punca dan interpolasi, petua trapezium dan Simpson, Euler, Heun dan Runge–Kutta.
Soalan latihan percumaMudah
Gunakan Newton–Raphson pada f(x) = e−x − x dengan nilai permulaan x₀ = 0. Cari x2.
Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Kesilapan lazim
Mengekalkan separuh selang pembahagi dua yang salah, atau tersilap mengira langkah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ dalam Newton–Raphson.
Memberi nod dalam pemberat 1 dalam petua trapezium, atau menggunakan Simpson dengan bilangan jalur ganjil.
Membundarkan lelaran terlalu awal.
Melakukan satu langkah Euler terlalu sedikit atau terlalu banyak untuk sampai ke masa akhir.
Formula utama
Pembahagi dua
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Banyak persamaan dan kamiran tidak mempunyai rumus untuk jawapannya: x = cos x, ∫e−x²dx, atau kebanyakan persamaan pembezaan. Kaedah berangka mengira jawapan langkah demi langkah kepada ketepatan yang anda perlukan.
Kaedah pembahagi dua mencari punca f(x) = 0 pada selang [a, b] yang f berubah tanda padanya. Ambil titik tengah c = (a + b)/2 dan kekalkan separuh yang tandanya masih berubah.
Contoh: f(x) = x² − 2 pada [1, 2]. c₁ = 1.5 memberi f = 0.25 > 0, maka kekalkan [1, 1.5]. c₂ = 1.25 memberi f = −0.4375 < 0, maka kekalkan [1.25, 1.5]. Kemudian c₃ = 1.375.
Setiap langkah membahagi dua selang, maka selepas n langkah lebarnya ialah (b − a)/2ⁿ. Pembahagi dua adalah perlahan tetapi ia sentiasa berjaya sebaik sahaja anda mempunyai perubahan tanda.
Semakan kendiri Pembahagi dua bermula pada selang sepanjang 1. Berapakah lebar selang selepas 10 langkah?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Jawapan: 1/1024. Setiap langkah membahagi duanya: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0.001. Membahagi dengan 10 atau 20 menganggap pembahagian dua itu bersifat penambahan.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson mengikut garis tangen ke bawah sehingga paksi-x dan menggunakan persilangan itu sebagai tekaan seterusnya:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Untuk f(x) = x² − 2 dengan f′(x) = 2x dan x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1.5, x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667, x₃ = 1.414216. Puncanya ialah √2 = 1.414214.
Berhampiran punca, Newton kira-kira menggandakan bilangan digit betul dalam setiap langkah. Ia boleh gagal apabila f′(xₙ) hampir 0, atau apabila permulaannya jauh dari punca.
Simpan sekurang-kurangnya enam digit dalam setiap lelaran; pembundaran awal menghalang kaedah itu daripada bertambah baik.
Semakan kendiri Satu langkah Newton untuk f(x) = x² − 5 dari x₀ = 2 memberi…
1.75
2.25
2.2
2.5
Jawapan: 2.25. f(2) = −1 dan f′(2) = 4, maka x₁ = 2 − (−1)/4 = 2.25. Menambah −1/4 dan bukan menolaknya memberi 1.75.
3Interpolasi linear
Jadual hanya memberi nilai pada titik tertentu. Interpolasi linear melukis garis lurus antara dua titik jadual yang berjiran:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Contoh: jadual memberi f(1) = 2.0 dan f(2) = 2.6. Pada x = 1.4 pecahannya ialah 0.4, maka f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24.
Interpolasi songsang berfungsi dengan cara yang sama tetapi terbalik: untuk mencari tempat y = 2.3, pecahannya ialah (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5, maka x ≈ 1.5.
4Petua trapezium dan petua Simpson
Untuk mengamirkan f dari a ke b, bahagikan selang kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀, x₁, …, xₙ.
Petua trapezium menggantikan lengkung dalam setiap jalur dengan garis lurus. Setiap nod dalam tergolong dalam dua jalur, maka ia dikira dua kali:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Petua Simpson memadankan parabola melalui tiga nod pada satu masa. Ia memerlukan n genap:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Untuk ∫01 x² dx = 1/3 dengan n = 2 (h = 0.5): T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375, manakala S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333, tepat.
Ralat trapezium mengecil seperti h² dan Simpson seperti h⁴: membahagi dua h menjadikan Simpson kira-kira 16 kali lebih tepat.
Semakan kendiri Pemberat manakah yang diberikan petua trapezium kepada nod x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Jawapan: 1, 2, 2, 1. Dua titik hujung tergolong dalam satu jalur dan titik dalam dalam dua, maka 1, 2, 2, 1 dengan faktor h/2. Angka 4 milik petua Simpson.
5Euler dan Heun untuk persamaan pembezaan
Untuk y′ = f(t, y) dengan y(t₀) = y₀, melangkah ke hadapan dalam masa dengan langkah h. Kaedah Euler menggunakan cerun pada permulaan setiap langkah:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) meramal dengan Euler, kemudian mengambil purata cerun pada kedua-dua hujung: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Ralat Euler berkadar dengan h, ralat Heun dengan h². Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggunakan empat cerun dan tepat sehingga h⁴.
Contoh terselesai
Selesaikan y′ = y, y(0) = 1 dengan kaedah Euler dan h = 0.1 sehingga t = 0.3, dan bandingkan dengan penyelesaian tepat eᵗ.
1
Langkah 1
y₁ = 1 + 0.1·1 = 1.1
2
Langkah 2
y₂ = 1.1 + 0.1·1.1 = 1.21
3
Langkah 3
y₃ = 1.21 + 0.1·1.21 = 1.331
4
Bandingkan
Nilai tepat ialah e0.3 = 1.349859, maka ralat global ialah 0.0189. Satu langkah Heun dari y₀ akan memberi 1 + 0.05·(1 + 1.1) = 1.105 berbanding e0.1 = 1.105171.
Jawapan
y(0.3) ≈ 1.331 dengan Euler; ralat 0.019 mengecil kira-kira berkadar dengan h.
6Kesilapan lazim dan soalan peperiksaan
Menganggap titik tengah pembahagi dua pertama sebagai langkah 0, atau mengekalkan separuh selang yang salah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ dalam kaedah Newton.
Terlupa faktor 2 pada nod dalam, atau menggunakan h dan bukan h/2 dalam petua trapezium.
Menggunakan petua Simpson dengan bilangan jalur ganjil.
Dalam kaedah Euler, menggunakan cerun pada hujung langkah, atau melakukan satu langkah terlalu sedikit.
Mudah: pembahagi dua, lelaran Newton dan interpolasi dalam jadual. Sederhana: petua trapezium dan Simpson, ralatnya dan bilangan jalur yang diperlukan. Sukar: langkah Euler, Heun dan Runge–Kutta untuk persamaan pembezaan.
Semakan kendiri y′ = 2y dengan y(0) = 1. Apakah yang diberikan oleh satu langkah Euler dengan h = 0.2?
1.2
1.49
1.4
2.4
Jawapan: 1.4. y₁ = 1 + 0.2·(2·1) = 1.4. Terlupa faktor 2 dalam cerun memberi 1.2; 1.49 ialah nilai tepat e0.4.
Kaedah pembahagi dua bermula pada selang sepanjang 4. Setiap langkah membahagi dua selang itu. Berapa banyak langkah n yang diperlukan sekurang-kurangnya sebelum selang menjadi lebih pendek daripada 0.0001?
b − a = 4ε = 0.0001
Cari nilai n
Tunjukkan petunjuk
Selepas n langkah selang mempunyai panjang (b − a)/2ⁿ.
Selesaikan 4/2ⁿ < 0.0001, maka 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15.29
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Pencarian punca dan interpolasi: kaedah pembahagi dua mengekalkan selang [a, b] yang f berubah tanda padanya; setiap langkah mengambil titik tengah c = (a + b)/2 dan mengekalkan separuh yang tandanya masih berubah, maka selepas n langkah lebar selang ialah (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson mengikut garis tangen ke paksi: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); berhampiran punca ringkas ia menggandakan bilangan digit betul bagi setiap langkah. Interpolasi linear antara dua titik jadual: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Syarat
4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritma
n > ln(40000)/ln 2 = 15.29
n = 16
Semakan
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Jawapan
n = 16
Contoh 2Sederhana
Anggarkan ∫01.5 √(1 + x³) dx dengan petua trapezium menggunakan n = 3 jalur. Beri T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 3
Cari nilai T
Tunjukkan petunjuk
h = (1.5 − 0)/3 = 0.5; nodnya ialah 0, 0.5, 1, 1.5.
Pemberat: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Hasil tambah berpemberat ialah Σ wᵢfᵢ = 8.041398.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Anda memerlukan 2 langkah untuk sampai ke t = 0.4.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Banyak persamaan dan kamiran tidak mempunyai rumus untuk jawapannya: x = cos x, ∫e−x²dx, atau kebanyakan persamaan pembezaan. Kaedah berangka mengira jawapan langkah demi langkah kepada ketepatan yang anda perlukan.
Contoh: f(x) = x² − 2 pada [1, 2]. c₁ = 1.5 memberi f = 0.25 > 0, maka kekalkan [1, 1.5]. c₂ = 1.25 memberi f = −0.4375 < 0, maka kekalkan [1.25, 1.5]. Kemudian c₃ = 1.375.
Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Kaedah berangka langkah demi langkah?
Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Apakah kesilapan lazim dalam Kaedah berangka?
Mengekalkan separuh selang pembahagi dua yang salah, atau tersilap mengira langkah.
Menulis x − f′/f dan bukan x − f/f′ dalam Newton–Raphson.
Memberi nod dalam pemberat 1 dalam petua trapezium, atau menggunakan Simpson dengan bilangan jalur ganjil.
Membundarkan lelaran terlalu awal.
Melakukan satu langkah Euler terlalu sedikit atau terlalu banyak untuk sampai ke masa akhir.
Apakah yang diliputi oleh latihan Kaedah berangka?
Mudah: punca dan interpolasi
Sederhana: petua trapezium dan Simpson
Sukar: Euler, Heun dan Runge–Kutta
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.