Terbitan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Terbitan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: petua kuasa, petua rantai dan hasil darab, tangen dan titik ekstrem.

Soalan latihan percumaMudah
xyx = −2

Biar f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Cari kecerunan graf pada x = −2, iaitu f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Soalan seterusnya →
Berlatih Terbitan secara percumaBerlatih Terbitan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahpetua kuasa
  2. Sederhanapetua rantai dan hasil darab
  3. Sukartangen dan titik ekstrem

Cara menyelesaikan soalan Terbitan

  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kesilapan lazim

  • Terlupa terbitan dalam dalam petua rantai.
  • Salah susunan dalam petua hasil bahagi.
  • Menganggap gandaan pemalar sebagai hasil darab.

Formula utama

Petua kuasa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab
(uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Pelajari Terbitan dari awal

Sebelum ini: Had

1Apakah itu terbitan

Terbitan mengukur kadar perubahan sesuatu. Jika kedudukan sebuah kereta berubah 50 km setiap jam, lajunya ialah 50 km/j: kadar perubahan kedudukan.

Pada graf, terbitan pada satu titik ialah cerun lengkung di situ: betapa curam ia naik atau turun jika anda zum dengan sangat dekat.

Cerun itu ialah cerun tangen, garis lurus yang hanya menyentuh lengkung pada titik itu.

xy(1, 1)m = 2

Bagi y = x² tangen pada x = 1 mempunyai cerun 2. Kita tulis f′(1) = 2, dibaca “f perdana bagi 1”.

  • Terbitan positif: graf menaik.
  • Terbitan negatif: graf menurun.
  • Terbitan sifar: graf mendatar di situ, contohnya pada puncak atau lembah.
Semakan kendiri Pada titik di mana graf f menurun, terbitannya ialah…
  1. negatif
  2. positif
  3. sifar
  4. tidak ditakrifkan

Jawapan: negatif. Terbitan ialah cerun. Graf yang menurun dari kiri ke kanan mempunyai cerun negatif.

2Petua asas

Anda tidak memerlukan had setiap kali. Beberapa petua meliputi kebanyakan fungsi.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Ini ialah petua kuasa: bawa kuasa ke hadapan dan kurangkan kuasa sebanyak satu. Maka (x³)′ = 3x² dan (x)′ = 1.

  • Pemalar sendirian mempunyai terbitan 0: ia tidak berubah.
  • Faktor pemalar kekal: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Dalam hasil tambah, ambil terbitan setiap sebutan secara berasingan.

Pelajari juga ini: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x dan (cos x)′ = −sin x.

Semakan kendiri Apakah terbitan bagi 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Jawapan: 12x² − 2. Petua kuasa pada setiap sebutan: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 dan pemalar 7 memberikan 0.

3Petua hasil darab dan rantai

Dua petua lagi mengendalikan fungsi yang dibina daripada fungsi lain.

Petua hasil darab, bagi dua fungsi yang didarab:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Petua rantai, bagi fungsi di dalam fungsi lain: ambil terbitan fungsi luar, kekalkan fungsi dalam, kemudian darabkan dengan terbitan fungsi dalam.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Petua hasil bahagi diperoleh daripada kedua-dua petua ini: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Semakan kendiri Apakah terbitan bagi (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Jawapan: 6(2x + 5)². Luar: 3(2x + 5)². Dalam: (2x + 5)′ = 2. Darab: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Terlupa 2 dalam ialah kesilapan klasik.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Perhatikan strukturnya: hasil tambah sebutan, hasil darab, hasil bahagi atau fungsi di dalam fungsi.
  2. Tulis semula punca dan pecahan sebagai kuasa dahulu: √x = x1/2 dan 1/x² = x−2.
  3. Gunakan petua dari luar ke dalam, satu bahagian pada satu masa.
  4. Permudahkan hasilnya.
  5. Jika nilai diminta, masukkan nombor hanya pada akhirnya.

Untuk mencari puncak atau lembah graf (ekstremum), selesaikan f′(x) = 0. Terbitan kedua memberitahu yang mana satu: f″ < 0 ialah maksimum, f″ > 0 minimum.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Biar f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Cari cerun pada x = 0, serta maksimum dan minimum setempat.

1

Bezakan sebutan demi sebutan

Gunakan petua kuasa pada setiap sebutan. Pemalar 1 lenyap.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Cerun pada x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Maka tangen pada x = 0 naik 9 unit bagi setiap satu unit ke kanan.

3

Tetapkan terbitan kepada sifar

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Yang manakah maksimum?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 negatif, maka x = 1 ialah maksimum. f″(3) = 6 positif, maka x = 3 ialah minimum.

5

Cari nilainya

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Graf mengesahkannya: mendatar pada kedua-dua titik, puncak pada (1, 5) dan lembah pada (3, 1).

Jawapan

f′(0) = 9. Maksimum setempat pada (1, 5), minimum setempat pada (3, 1).

6Kesilapan lazim

  • Terlupa terbitan fungsi dalam dalam petua rantai.
  • Menulis (u · v)′ = u′ · v′. Petua hasil darab mempunyai dua sebutan.
  • Silap susunan dalam petua hasil bahagi: ia u′v − uv′ di atas, dengan tanda tolak.
  • Memasukkan nombor sebelum membezakan. Bezakan dahulu, kemudian gantikan.
  • Menganggap gandaan pemalar seperti 5x³ sebagai hasil darab. Ia lebih mudah: 5 hanya kekal.
Semakan kendiri Apakah terbitan bagi √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Jawapan: 1/(2√x). √x = x1/2, maka terbitannya ialah ½x−1/2 = 1/(2√x). Menulis semula punca sebagai kuasa dahulu menjadikannya mudah.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: polinomial. Gunakan petua kuasa dan cari cerun pada x tertentu.
  • Sederhana: petua rantai atau hasil darab, contohnya (2x + 5)⁵ atau x²·e−x, dinilai pada satu titik.
  • Sukar: tangen dan ekstremum. Selesaikan f′(x) = 0 dan tentukan titik mana yang maksimum.

Semakan pantas untuk soalan cerun: bayangkan graf itu. Jika ia menaik di situ, jawapan anda sepatutnya positif.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xyx = 1

Biar f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Cari kecerunan graf pada x = 1, iaitu f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Cari nilai f′(1)

Tunjukkan petunjuk
  1. Bezakan sebutan demi sebutan dengan petua kuasa (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Pemalar lenyap.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Sekarang gantikan x = 1.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Bezakan sebutan demi sebutan

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Gantikan

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Jawapan

f′(1) = −6
Contoh 2Sederhana
xyx = 1

Biar f(x) = x3·e−x. Cari f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Cari nilai f′(1)

Tunjukkan petunjuk
  1. Petua hasil darab dengan u = x3 dan v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Gantikan

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

Jawapan

f′(1) = 0.7358
Contoh 3Sukar
xy

Biar f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6

Cari nilai x

Tunjukkan petunjuk
  1. Pada maksimum atau minimum setempat, terbitannya ialah sifar.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Bagi kubik dengan sebutan x³ positif, maksimum datang dahulu (x lebih kecil) dan minimum kedua.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Terbitan

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 6

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 27: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Jawapan

x = 6

Soalan dan jawapan

Apakah Terbitan?

Terbitan mengukur kadar perubahan sesuatu. Jika kedudukan sebuah kereta berubah 50 km setiap jam, lajunya ialah 50 km/j: kadar perubahan kedudukan.

Pada graf, terbitan pada satu titik ialah cerun lengkung di situ: betapa curam ia naik atau turun jika anda zum dengan sangat dekat.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Terbitan langkah demi langkah?
  1. Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
  2. Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
  3. Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
  4. Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.
Apakah kesilapan lazim dalam Terbitan?
  • Terlupa terbitan dalam dalam petua rantai.
  • Salah susunan dalam petua hasil bahagi.
  • Menganggap gandaan pemalar sebagai hasil darab.
Apakah yang diliputi oleh latihan Terbitan?
  • Mudah: petua kuasa
  • Sederhana: petua rantai dan hasil darab
  • Sukar: tangen dan titik ekstrem

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Had

Teruskan dengan

KamiranKalkulus multipemboleh ubahKaedah berangkaPersamaan pembezaanPengoptimumanJujukan & siri

Kalkulator

Kalkulator terbitan dengan langkah

Kursus dengan topik ini

Kalkulus 1Matematik KejuruteraanPersamaan PembezaanSoalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Terbitan dengan jawapan
Berlatih Terbitan secara percumaBerlatih Terbitan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.