Ujian hipotesis & selang keyakinan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Ujian hipotesis & selang keyakinan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: statistik z, statistik t, selang keyakinan.

Soalan latihan percumaMudah
μ₀x̄c = ?α = 0.05

Seorang pembekal mendakwa bahawa min kekuatan putus sebuah kabel ialah 50 kN; anda mengesyaki ia lebih tinggi. Sisihan piawai diketahui ialah 8 kN. Anda akan mengambil sampel 25 kabel dan menguji H₀: μ = 50 kN terhadap H₁: μ > 50 kN pada α = 0.05. Di atas min sampel x̄c yang manakah anda akan menolak H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0.05
kN
Soalan seterusnya →
Berlatih Ujian hipotesis & selang keyakinan secara percumaBerlatih Ujian hipotesis & selang keyakinan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahstatistik z
  2. Sederhanastatistik t
  3. Sukarselang keyakinan

Cara menyelesaikan soalan Ujian hipotesis & selang keyakinan

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Kesilapan lazim

  • Menggunakan nilai genting satu hujung untuk ujian dua hujung.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar apabila ia tidak ditolak.
  • Terlupa √n dalam ralat piawai.

Formula utama

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Pelajari Ujian hipotesis & selang keyakinan dari awal

Sebelum ini: Selang keyakinan

1Idea sesuatu ujian

Sebuah mesin sepatutnya mengisi botol dengan 500 mL secara purata. Satu sampel botol mempunyai min 496 mL. Adakah mesin itu salah, atau ini hanya kebetulan?

Ujian hipotesis menjawab soalan itu dengan nombor. Anda bermula daripada dua pernyataan:

  • Hipotesis nol H₀: tiada apa yang berubah. Di sini H₀: μ = 500.
  • Hipotesis alternatif H₁: apa yang anda syaki. Di sini H₁: μ ≠ 500 (dua hujung), atau μ < 500 jika anda hanya bimbang tentang pengisian kurang (satu hujung).

Anda menganggap H₀ benar dan bertanya: betapa luar biasanya sampel ini? Jika ia sangat luar biasa, anda menolak H₀.

Semakan kendiri Seorang pembekal mendakwa perintangnya 220 Ω secara purata. Anda mahu menguji dakwaan ini. Apakah H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Jawapan: μ = 220 Ω. H₀ ialah dakwaan yang diuji, tentang min populasi μ. μ ≠ 220 Ω ialah alternatif H₁, dan hipotesis tidak pernah tentang min sampel x̄, yang sudah anda ketahui.

2Statistik ujian

Statistik ujian mengukur sejauh mana min sampel terletak daripada μ₀, nilai dalam H₀, dalam unit ralat piawai.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Gunakan z apabila sisihan piawai populasi σ diketahui. Apabila hanya sisihan piawai sampel s diketahui, gunakan t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Nilai z atau t hampir 0 bermaksud sampel bersetuju dengan H₀. Nilai positif atau negatif yang besar bermaksud sampel jauh daripada μ₀.

Semakan kendiri H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 dan x̄ = 118. Berapakah z?
  1. 1
  2. −0.25
  3. −1
  4. −4

Jawapan: −1. Ralat piawai ialah 8/√16 = 2, jadi z = (118 − 120)/2 = −1. Membahagi dengan σ = 8 dan bukan σ/√n memberikan −0.25. Tandanya negatif kerana x̄ berada di bawah μ₀.

3Membuat keputusan: nilai genting dan nilai-p

Sebelum anda melihat data, pilih aras keertian α, biasanya 0.05. Ia ialah risiko yang anda terima untuk menolak H₀ yang benar.

Bagi ujian z pada α = 0.05:

  • Dua hujung (H₁: μ ≠ μ₀): tolak H₀ jika |z| > 1.96.
  • Satu hujung (H₁: μ > μ₀): tolak H₀ jika z > 1.645. Bagi μ < μ₀: tolak jika z < −1.645.

Nilai-p ialah kebarangkalian hasil sekurang-kurangnya sekeras ini jika H₀ benar. Tolak H₀ apabila p < α.

Tidak menolak H₀ tidak membuktikannya. Ia hanya bermaksud data bukan bukti yang cukup kuat terhadapnya.

Ujian dan selang keyakinan sepadan: ujian dua hujung pada 5% menolak H₀ tepat apabila μ₀ terletak di luar selang 95% x̄ ± 1.96 · σ/√n.

Semakan kendiri Ujian z dua hujung pada α = 0.05 memberikan z = 1.8. Apakah kesimpulan anda?
  1. H₀ terbukti benar
  2. Jangan tolak H₀
  3. Tolak H₀
  4. Tolak H₁ dan terima H₀ sebagai terbukti

Jawapan: Jangan tolak H₀. |1.8| lebih kecil daripada 1.96, jadi hasilnya tidak signifikan dan H₀ tidak ditolak. Itu tidak membuktikan H₀; buktinya cuma tidak cukup kuat.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁, dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Pilih z (σ diketahui) atau t (hanya s diketahui, df = n − 1).
  3. Hitung ralat piawai σ/√n atau s/√n.
  4. Hitung statistik ujian (x̄ − μ₀) / ralat piawai.
  5. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  6. Nyatakan kesimpulan dengan perkataan, berkaitan dengan soalan.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Sebuah mesin sepatutnya mengisi botol dengan 500 mL secara purata. σ = 12 mL. Satu sampel 36 botol mempunyai min 496 mL. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ ≠ 500 pada α = 0.05.

1

Hipotesis

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Ini dua hujung, jadi nilai gentingnya ±1.96.

2

Ralat piawai

σ diketahui, jadi gunakan z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Statistik ujian

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Bandingkan

−1.9601.962.5%2.5%95%z = −2

|−2| = 2 lebih besar daripada 1.96, jadi z terletak dalam rantau penolakan yang berlorek.

5

Semak dengan selang

496 ± 1.96 · 2 = [492.08, 499.92]

Nilai 500 terletak di luar selang 95%, jadi selang itu memberikan keputusan yang sama.

Jawapan

z = −2. Tolak H₀ pada aras 5%: min pengisian mesin itu berbeza daripada 500 mL.

6Kesilapan lazim

  • Menggunakan nilai genting satu hujung (1.645) bagi ujian dua hujung, atau sebaliknya.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar apabila ia tidak ditolak.
  • Terlupa √n dalam ralat piawai.
  • Menulis x̄ − μ₀ terbalik, yang menukar tanda z.
  • Menggunakan z apabila hanya s sampel diketahui bagi sampel kecil.
Semakan kendiri Ujian satu hujung dengan H₁: μ > μ₀ pada α = 0.05 memberikan z = 1.8. Apakah kesimpulan anda?
  1. Jangan tolak H₀, kerana 1.8 < 1.96
  2. Jangan tolak H₀, kerana 1.8 < 2.576
  3. Tolak H₀, kerana 1.8 > 1.645
  4. Tolak H₀, kerana z positif

Jawapan: Tolak H₀, kerana 1.8 > 1.645. Satu hujung pada 5% meletakkan seluruh 5% pada satu hujung, jadi nilai gentingnya 1.645. Membandingkan dengan 1.96 menggunakan nilai dua hujung secara silap.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: statistik z. σ diketahui; hitung z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Sederhana: statistik t. Hanya sisihan piawai sampel s diberi; hitung t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Sukar: selang keyakinan. Cari had bawah atau had atas bagi x̄ ± z · σ/√n pada 95% atau 99%.

Semakan pantas: jika x̄ di bawah μ₀, statistik ujian mesti negatif.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
z −1.9601.96

Sebuah mesin sepatutnya mengisi botol dengan purata 100 mL. Sisihan piawai diketahui ialah 4 mL. Satu sampel 81 botol mempunyai min 99.6 mL. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99.6 mLσ = 4 mLn = 81

Cari nilai z

Tunjukkan petunjuk
  1. Ralat piawai min ialah sisihan piawai dibahagi √n.
  2. SE = 4/√81 = 0.4444.
  3. Kemudian bahagikan beza x̄ − μ₀ dengan ralat piawai. Kekalkan tanda.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

Statistik ujian

z = (99.6 − 100)/0.4444 = −0.9

Jawapan

z = −0.9

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

Contoh 2Sederhana
t −1.99801.998

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 504.5 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504.5s = 15n = 64

Cari nilai t

Tunjukkan petunjuk
  1. Ralat piawai min ialah sisihan piawai dibahagi √n.
  2. SE = 15/√64 = 1.875.
  3. Kemudian bahagikan beza x̄ − μ₀ dengan ralat piawai. Kekalkan tanda.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

Statistik ujian

t = (504.5 − 500)/1.875 = 2.4

Jawapan

t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

Contoh 3Sukar
z −2.57602.576

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 80. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Cari nilai L

Tunjukkan petunjuk
  1. Selang keyakinan: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2.576 untuk 99%.
  3. σ/√n = 2.5.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·20/√64 = 6.44

Had selang

L = 80 − 6.44 = 73.56

Jawapan

L = 73.56

Soalan dan jawapan

Apakah Ujian hipotesis & selang keyakinan?

Sebuah mesin sepatutnya mengisi botol dengan 500 mL secara purata. Satu sampel botol mempunyai min 496 mL. Adakah mesin itu salah, atau ini hanya kebetulan?

Anda menganggap H₀ benar dan bertanya: betapa luar biasanya sampel ini? Jika ia sangat luar biasa, anda menolak H₀.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Ujian hipotesis & selang keyakinan langkah demi langkah?
  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Apakah kesilapan lazim dalam Ujian hipotesis & selang keyakinan?
  • Menggunakan nilai genting satu hujung untuk ujian dua hujung.
  • Mengatakan H₀ terbukti benar apabila ia tidak ditolak.
  • Terlupa √n dalam ralat piawai.
Apakah yang diliputi oleh latihan Ujian hipotesis & selang keyakinan?
  • Mudah: statistik z
  • Sederhana: statistik t
  • Sukar: selang keyakinan

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Selang keyakinan

Teruskan dengan

Ujian khi kuasa dua

Kalkulator

Kalkulator ujian-tKalkulator nilai-pKalkulator ANOVA sehala

Kursus dengan topik ini

Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk PsikologiStatistik PengenalanStatistik 2: Inferens StatistikAmalan Berasaskan BuktiSoalan latihan AP StatisticsLatihan kaedah kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Ujian hipotesis & selang keyakinan dengan jawapan
Berlatih Ujian hipotesis & selang keyakinan secara percumaBerlatih Ujian hipotesis & selang keyakinan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.