Kalkulator nilai eigen dan vektor eigen
Masukkan nilai anda. Jawapan dan penyelesaian lengkap dikemas kini semasa anda menaip.
Keputusan
| Nilai eigen | Kepelbagaian | Vektor eigen | Vektor eigen unit |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0.8944, 0, 0.4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0.5774, 0.5774, −0.5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0.7071, 0, −0.7071) |
Cari nilai eigen dan vektor eigen bagi matriks 2×2 atau 3×3. Kalkulator mengembangkan det(A − λI) menjadi polinomial cirian, menyelesaikannya untuk nilai eigen nyata atau kompleks beserta kepelbagaiannya, dan mencari vektor eigen bagi setiap nilai eigen nyata dengan menyelesaikan (A − λI)v = 0. Setiap vektor eigen disemak dengan mengira A·v, dan bagi nilai eigen berulang ia menunjukkan sama ada matriks itu boleh dipepenjurukan.
Penyelesaian langkah demi langkah
Persamaan cirian det(A − λI) = 0
Nilai eigen
Vektor eigen (λ = 5)
Vektor eigen (λ = 3)
Vektor eigen (λ = 2)
Formula utama
- Nilai eigen
- det(A − λI) = 0
Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen
- Tolak λ daripada setiap entri pepenjuru A untuk mendapat A − λI.
- Tetapkan penentu kepada sifar: det(A − λI) = 0. Bagi matriks 2×2 ini ialah λ² − (tr A)λ + det A = 0; bagi matriks 3×3 ia ialah persamaan kubik.
- Selesaikan persamaan cirian. Semak: nilai eigen berjumlah sama dengan surih dan hasil darabnya sama dengan penentu.
- Bagi setiap nilai eigen, selesaikan (A − λI)v = 0 dengan penurunan baris. Penyelesaiannya membentuk satu garis (atau satu satah); mana-mana vektor bukan sifar di dalamnya ialah vektor eigen.
- Semak setiap vektor eigen: A·v mesti sama dengan λ·v.
Soalan dan jawapan
Bagaimanakah saya memasukkan matriks?
Taip baris yang dipisahkan dengan koma bertitik dan nombor dalam setiap baris yang dipisahkan dengan ruang, contohnya 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 bagi matriks 3×3. Perpuluhan dan nombor negatif dibenarkan.
Mengapakah matriks boleh mempunyai nilai eigen kompleks?
Polinomial cirian boleh mempunyai punca kompleks, dan bagi matriks nyata ia sentiasa wujud dalam pasangan konjugat. Matriks putaran 0 -1; 1 0 mempunyai nilai eigen ±i, kerana tiada vektor nyata yang mengekalkan arahnya di bawah putaran.
Apakah maksud nilai eigen berulang?
Punca polinomial cirian dengan kepelbagaian 2 atau 3. Matriks itu mungkin masih mempunyai sebanyak itu vektor eigen tak bersandar, seperti matriks identiti, atau lebih sedikit. Jika lebih sedikit, ia cacat dan tidak boleh dipepenjurukan.
Adakah vektor eigen unik?
Tidak. Sebarang gandaan bukan sifar bagi vektor eigen juga ialah vektor eigen. Kalkulator menunjukkan bentuk ringkas, dengan nombor bulat jika boleh, dan vektor unit yang panjangnya 1.
Untuk apakah nilai eigen digunakan?
Ia memberikan frekuensi tabii sistem bergetar, tegasan utama tensor tegasan, kestabilan sistem persamaan pembezaan dan arah utama dalam analisis komponen utama.
Cuba sendiri
Berlatih Matriks & penentu
Kalkulator memberikan jawapan. Dalam peperiksaan anda memerlukan kaedah: berlatihlah dengan soalan baharu, petunjuk dan penyelesaian lengkap.