Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 400 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 24 °C. Selepas 18 min suhunya ialah 177 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 116 °C?

T₀ = 400 °CT_a = 24 °CT(18) = 177 °CT = 116 °C

t = min

2.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 1000 L air tulen. Air garam dengan 0.05 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 100 min?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = 3x dari x = 0 ke x = 4 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

4.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1.5).

f(x) = x·sin(x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² − 5x + 6 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² − 5x + 6x = 2

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀² √(1 + x³) dx dengan petua Simpson menggunakan n = 6 jalur. Beri S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.5 untuk y′ = t − y, y(0) = 3 untuk menganggar y₃ ≈ y(1.5).

y′ = t − yy(0) = 3h = 0.5

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 28.18 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(376/153)/18 = 0.04995 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(376/92)/0.04995 = 28.18 min

Jawapan

t = 28.18 min

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 19.67 kg

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.05 − (5/1000)·m = 0.25 − 0.005·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/200

Gantikan t

m(100) = 50 + (−50)·0.6065 = 19.67 kg

Jawapan

m = 19.67 kg

3.Kamiran

Jawapan: V = 603.2

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀⁴ 9x² dx

Kamirkan

V = π·9·4³/3 = 603.2

Jawapan

V = 603.2

Semakan: kon berjejari 12 dan tinggi 4 mempunyai (1/3)πr²h = 603.2.

4.Kamiran

Jawapan: A = 0.1667

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Titik persilangan

x² = x → x = 0, x = 1

Kamirkan atas tolak bawah

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

Jawapan

A = 0.1667

5.Terbitan

Jawapan: f′(1.5) = 1.104

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(1.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

Jawapan

f′(1.5) = 1.104

6.Terbitan

Jawapan: b = −6

Titik dan kecerunan

f(2) = 8

f′(x) = 6x − 5 → f′(2) = 7

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − 7·2 = −6

Jawapan

b = −6

7.Kaedah berangka

Jawapan: S = 3.241

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nod dan nilai

h = 0.3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.01835 + 2·1.13855 + 4·1.414214 + 2·1.835857 + 4·2.372684 + 3 = 29.169805

Petua Simpson

S = (0.3333/3)·29.169805 = 3.241

Jawapan

S = 3.241

Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₃ = 1

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 3 + 0.5·(−3) = 1.5

y₂ = 1.5 + 0.5·(−1) = 1

y₃ = 1 + 0.5·(0) = 1

Graf

y₃ = 1

Jawapan

y₃ = 1

Nilai tepat ialah y(1.5) = 1.392521.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations