Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 320 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 30 °C. Selepas 27 min suhunya ialah 105 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 320 °CT_a = 30 °CT(27) = 105 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 1000 L air yang di dalamnya terlarut 10 kg garam. Air garam dengan 0.25 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 20 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Selepas berapa minit t tangki mengandungi 154 kg garam?

V = 1000 Lm₀ = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₂⁸ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 8]

I =

4.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (3x + 3)⁴. Cari f′(1).

f(x) = (3x + 3)⁴x = 1

f′(1) =

6.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 10.5x² + 30x − 3. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 10.5x² + 30x − 3

x =

7.Kaedah berangkaSederhana

Petua trapezium digunakan untuk ∫₀¹ x³ dx. Ralatnya paling banyak (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 1]. Cari bilangan jalur terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0.0005

n =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.1 untuk y′ = t + y, y(0) = 0.5 untuk menganggar y₄ ≈ y(0.4).

y′ = t + yy(0) = 0.5h = 0.1

y₄ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.05009 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−27k = 75/290

Selesaikan untuk k

k = ln(290/75)/27 = 0.05009 min⁻¹

Jawapan

k = 0.05009 min⁻¹

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 45.81 min

Keputusan

m(t) = 250 + (−240)·e^−t/50

Selesaikan untuk t

e^−t/50 = (250 − 154)/(250 − 10) = 0.4

t = 50·ln(2.5) = 45.81 min

Jawapan

t = 45.81 min

3.Kamiran

Jawapan: I = 2.773

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 2·ln x

Nilaikan pada had

I = 2·(ln 8 − ln 2) = 2·ln 4 = 2.773

Jawapan

I = 2.773

4.Kamiran

Jawapan: I = 0.7183

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

Jawapan

I = 0.7183

5.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 2592

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 4·(3x + 3)³·3

Gantikan

f′(1) = 4·6³·3 = 2592

Jawapan

f′(1) = 2592

6.Terbitan

Jawapan: x = 2

Terbitan

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 21: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

Jawapan

x = 2

7.Kaedah berangka

Jawapan: n = 32

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Had terbitan kedua

M = 6·1 = 6

Selesaikan untuk n

n² > 1·6/(12·0.0005) = 1000

n > 31.62 → n = 32

Jawapan

n = 32

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₄ = 0.7962

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 0.5 + 0.1·(0.5) = 0.55

y₂ = 0.55 + 0.1·(0.65) = 0.615

y₃ = 0.615 + 0.1·(0.815) = 0.6965

y₄ = 0.6965 + 0.1·(0.9965) = 0.79615

Graf

y₄ = 0.7962

Jawapan

y₄ = 0.7962

Nilai tepat ialah y(0.4) = 0.837737.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations