Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 91 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 23 °C. Selepas 24 min suhunya ialah 49 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 31 °C?

T₀ = 91 °CT_a = 23 °CT(24) = 49 °CT = 31 °C

t = min

2.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0.75); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

4.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (2x + 3)³. Cari f′(−1).

f(x) = (2x + 3)³x = −1

f′(−1) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = −x² − 4x − 2 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x² − 4x − 2x = 1

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀¹ eˣ dx dengan petua Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Kaedah berangkaSukar

Selesaikan y′ = t + y, y(0) = 0.5 dengan kaedah Euler dan langkah h = 0.5 sehingga t = 1.5. Penyelesaian tepat ialah y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Cari ralat global |E| = |y(1.5) − y₃|.

y′ = t + yy(0) = 0.5h = 0.5

|E| =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 53.42 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(68/26)/24 = 0.04006 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(68/8)/0.04006 = 53.42 min

Jawapan

t = 53.42 min

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.75) = 1.078

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

y_ss = 1, r = −1.5 ± 3j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −0.5

Nilaikan

y(0.75) = 1·(1 − e^−1.125(cos 2.25 + 0.5·sin 2.25)) = 1.078

Jawapan

y(0.75) = 1.078

3.Kamiran

Jawapan: I = 0.3012

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiterbitan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Had

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0.3012

Jawapan

I = 0.3012

4.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

5.Terbitan

Jawapan: f′(−1) = 6

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(2x + 3)²·2

Gantikan

f′(−1) = 3·1²·2 = 6

Jawapan

f′(−1) = 6

6.Terbitan

Jawapan: b = −1

Titik dan kecerunan

f(1) = −7

f′(x) = −2x − 4 → f′(1) = −6

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−6)·1 = −1

Jawapan

b = −1

7.Kaedah berangka

Jawapan: |E| = 0.0005793

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nilai tepat

I = 1.718282

Petua Simpson

S = (0.5/3)·(1 + 4·1.648721 + 2.718282) = 1.718861

Ralat

|E| = |1.718861 − 1.718282| = 0.0005793

Jawapan

|E| = 0.0005793

Ralat relatif: 0.03372%.

8.Kaedah berangka

Jawapan: |E| = 1.66

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₃ = 2.5625

Nilai tepat

y(1.5) = 4.222534

Ralat global

|E| = |4.222534 − 2.5625| = 1.66

Graf

Jawapan

|E| = 1.66

Membahagi dua h kira-kira membahagi dua ralat kaedah Euler.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations