Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -2. Cari y(2).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(2) =

2.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 2y′ + 17y = 34 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁³ x·ln x dx.

∫₁³ x ln x dx

I =

4.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(2x² + 2). Cari f′(2).

f(x) = ln(2x² + 2)x = 2

f′(2) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = −x² + 4x − 4 pada x = −1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x² + 4x − 4x = −1

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀² 1/(1 + x³) dx dengan petua Simpson menggunakan n = 4 jalur. Beri S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4

S =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.5 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 0.5 untuk menganggar y₃ ≈ y(1.5).

y′ = cos t − yy(0) = 0.5h = 0.5

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.2707

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 2, −1A − 5B = -2

A = 2, B = 0

Nilaikan

y(2) = 2·e⁻² + 0·e⁻¹⁰ = 0.2707

Jawapan

y(2) = 0.2707

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 2.912

Nilai mantap dan punca

y_ss = 2, r = −1 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0.5

Puncak

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−1·π/4) = 2.912

Jawapan

y_max = 2.912

3.Kamiran

Jawapan: I = 2.944

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

Jawapan

I = 2.944

4.Kamiran

Jawapan: I = 12.78

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

Jawapan

I = 12.78

5.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.8

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Gantikan

f′(2) = 8/10 = 0.8

Jawapan

f′(2) = 0.8

6.Terbitan

Jawapan: b = −3

Titik dan kecerunan

f(−1) = −9

f′(x) = −2x + 4 → f′(−1) = 6

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −9 − 6·(−1) = −3

Jawapan

b = −3

7.Kaedah berangka

Jawapan: S = 1.097

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nod dan nilai

h = 0.5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.888889 + 2·0.5 + 4·0.228571 + 0.111111 = 6.580952

Petua Simpson

S = (0.5/3)·6.580952 = 1.097

Jawapan

S = 1.097

Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₃ = 0.677

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 0.5 + 0.5·(0.5) = 0.75

y₂ = 0.75 + 0.5·(0.127583) = 0.813791

y₃ = 0.813791 + 0.5·(−0.273489) = 0.677047

Graf

y₃ = 0.677

Jawapan

y₃ = 0.677

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations