Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 84 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 22 °C. Selepas 25 min suhunya ialah 36 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 84 °CT_a = 22 °CT(25) = 36 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 400 L air yang di dalamnya terlarut 20 kg garam. Air garam dengan 0.2 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 10 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Selepas berapa minit t tangki mengandungi 68 kg garam?

V = 400 Lm₀ = 20 kgc = 0.2 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = 2x dari x = 0 ke x = 4 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 2x0 ≤ x ≤ 4

V =

4.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(0.5).

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² + 2x + 5 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² + 2x + 5x = 2

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀¹ 1/(1 + x³) dx dengan petua Simpson menggunakan n = 4 jalur. Beri S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.25 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 3 untuk menganggar y₃ ≈ y(0.75).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0.25

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.05952 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−25k = 14/62

Selesaikan untuk k

k = ln(62/14)/25 = 0.05952 min⁻¹

Jawapan

k = 0.05952 min⁻¹

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 64.38 min

Keputusan

m(t) = 80 + (−60)·e^−t/40

Selesaikan untuk t

e^−t/40 = (80 − 68)/(80 − 20) = 0.2

t = 40·ln(5) = 64.38 min

Jawapan

t = 64.38 min

3.Kamiran

Jawapan: V = 268.1

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀⁴ 4x² dx

Kamirkan

V = π·4·4³/3 = 268.1

Jawapan

V = 268.1

Semakan: kon berjejari 8 dan tinggi 4 mempunyai (1/3)πr²h = 268.1.

4.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

5.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 0.9182

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

Jawapan

f′(0.5) = 0.9182

6.Terbitan

Jawapan: b = 3

Titik dan kecerunan

f(2) = 11

f′(x) = x + 2 → f′(2) = 4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − 4·2 = 3

Jawapan

b = 3

7.Kaedah berangka

Jawapan: S = 0.8358

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nod dan nilai

h = 0.25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.984615 + 2·0.888889 + 4·0.703297 + 0.5 = 10.029426

Petua Simpson

S = (0.25/3)·10.029426 = 0.8358

Jawapan

S = 0.8358

Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₃ = 1.807

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 3 + 0.25·(−2) = 2.5

y₂ = 2.5 + 0.25·(−1.531088) = 2.117228

y₃ = 2.117228 + 0.25·(−1.239646) = 1.807317

Graf

y₃ = 1.807

Jawapan

y₃ = 1.807

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations