Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 2. Cari y(0.5).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(0.5) =

2.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0.5); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁^2.5 x·ln x dx.

∫₁^2.5 x ln x dx

I =

4.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 9 − x² dan paksi-x.

y = 9 − x²

A =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

6.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 3x + 4. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 3x + 4

x =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀¹ eˣ dx dengan petua Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.2 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 0.5 untuk menganggar y₅ ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0.5h = 0.2

y₅ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.5) = 3.235

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −2A − 4B = 2

A = 11, B = −6

Nilaikan

y(0.5) = 11·e⁻¹ + (−6)·e⁻² = 3.235

Jawapan

y(0.5) = 3.235

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.5) = 1.036

Nilai mantap dan punca

y_ss = 1, r = −1.5 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375

Nilaikan

y(0.5) = 1·(1 − e^−0.75(cos 2 + 0.375·sin 2)) = 1.036

Jawapan

y(0.5) = 1.036

3.Kamiran

Jawapan: I = 1.551

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(3.125·ln 2.5 − 1.5625) − (0 − 0.25) = 1.551

Jawapan

I = 1.551

4.Kamiran

Jawapan: A = 36

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

9 − x² = 0 → x = ±3

Kamirkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawapan

A = 36

5.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(1) = 1.382

6.Terbitan

Jawapan: x = −1

Terbitan

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Jawapan

x = −1

7.Kaedah berangka

Jawapan: |E| = 0.0005793

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nilai tepat

I = 1.718282

Petua Simpson

S = (0.5/3)·(1 + 4·1.648721 + 2.718282) = 1.718861

Ralat

|E| = |1.718861 − 1.718282| = 0.0005793

Jawapan

|E| = 0.0005793

Ralat relatif: 0.03372%.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₅ = 1.41

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 0.5 + 0.2·(0.75) = 0.65

y₂ = 0.65 + 0.2·(0.8775) = 0.8255

y₃ = 0.8255 + 0.2·(0.96955) = 1.01941

y₄ = 1.01941 + 0.2·(0.999623) = 1.219335

y₅ = 1.219335 + 0.2·(0.951892) = 1.409713

Graf

y₅ = 1.41

Jawapan

y₅ = 1.41

Nilai tepat ialah y(1) = 1.422469.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations