Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 84 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 19 °C. Selepas 6 min suhunya ialah 59 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 84 °CT_a = 19 °CT(6) = 59 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 1000 L air yang di dalamnya terlarut 10 kg garam. Air garam dengan 0.2 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 100 min?

V = 1000 Lm₀ = 10 kgc = 0.2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀^π x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀^π x·cos x dx

I =

4.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (4x + 5)⁵. Cari f′(1).

f(x) = (4x + 5)⁵x = 1

f′(1) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = −x² + x + 4 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x² + x + 4x = 1

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀^1.5 sin(x²) dx dengan petua Simpson menggunakan n = 4 jalur. Beri S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1.5]n = 4

S =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) dengan h = 0.5 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 3 untuk menganggar y₂ ≈ y(1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0.5

y₂ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.08092 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−6k = 40/65

Selesaikan untuk k

k = ln(65/40)/6 = 0.08092 min⁻¹

Jawapan

k = 0.08092 min⁻¹

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 84.76 kg

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.2 − (5/1000)·m = 1 − 0.005·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 200 + (−190)·e^−t/200

Gantikan t

m(100) = 200 + (−190)·0.6065 = 84.76 kg

Jawapan

m = 84.76 kg

3.Kamiran

Jawapan: I = −2

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiterbitan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Had

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Jawapan

I = −2

4.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

5.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 131220

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 5·(4x + 5)⁴·4

Gantikan

f′(1) = 5·9⁴·4 = 131220

Jawapan

f′(1) = 131220

6.Terbitan

Jawapan: b = 5

Titik dan kecerunan

f(1) = 4

f′(x) = −2x + 1 → f′(1) = −1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−1)·1 = 5

Jawapan

b = 5

7.Kaedah berangka

Jawapan: S = 0.7776

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nod dan nilai

h = 0.375

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.140162 + 2·0.533303 + 4·0.953795 + 0.778073 = 6.220508

Petua Simpson

S = (0.375/3)·6.220508 = 0.7776

Jawapan

S = 0.7776

Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₂ = 1.632

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 3 + (0.5/2)(−2 − 1.122417) = 2.219396

y₂ = 2.219396 + (0.5/2)(−1.341813 − 1.008187) = 1.631896

Graf

y₂ = 1.632

Jawapan

y₂ = 1.632

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations