Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 1. Cari y(1.5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(1.5) =

2.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 2 bagi x > 0, dengan y(1) = −3. Cari y(2).

y′ + 2y/x = 2y(1) = −3

y(2) =

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₂¹⁰ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 10]

I =

4.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x²·e^2x. Cari f′(2).

f(x) = x²·e^2xx = 2

f′(2) =

6.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 12x² + 36x − 3. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 12x² + 36x − 3

x =

7.Kaedah berangkaSederhana

Laju sebuah kenderaan diukur setiap 2 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 10 s dengan petua trapezium.

h = 2 sn = 5

s = m

8.Kaedah berangkaSukar

Ambil satu langkah kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0.2 untuk y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5. Cari y₁ ≈ y(0.2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.2

y₁ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 3.124

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Pemalar

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 5 = 6

Nilaikan

y(1.5) = (5 + 6·1.5)·e^−1.5 = 3.124

Jawapan

y(1.5) = 3.124

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.4167

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Kamirkan

(x²y)′ = 2x² → x²y = 2x³/3 + C

Syarat awal

−3 = 2/3 + C → C = −3.667

Nilaikan

y(2) = (2·2³/3 + (−3.667))/2² = 0.4167

Jawapan

y(2) = 0.4167

3.Kamiran

Jawapan: I = 1.609

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = ln x

Nilaikan pada had

I = (ln 10 − ln 2) = ln 5 = 1.609

Jawapan

I = 1.609

4.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

5.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 655.2

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Gantikan

f′(2) = 54.6·(4 + 8) = 655.2

Jawapan

f′(2) = 655.2

6.Terbitan

Jawapan: x = 2

Terbitan

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 6

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 24: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 2

Jawapan

x = 2

7.Kaedah berangka

Jawapan: s = 47 m

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Hasil tambah berpemberat

2 + 2·2 + 2·7 + 2·7 + 2·5 + 3 = 47

Petua trapezium

s = (2/2)·47 = 47 m

Jawapan

s = 47 m

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₁ = 0.7128

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Empat cerun

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.1, 0.6) = 1.059964

k₃ = f(0.1, 0.605996) = 1.060563

k₄ = f(0.2, 0.712113) = 1.141942

Gabungkan

y₁ = 0.5 + (0.2/6)(1 + 2·1.059964 + 2·1.060563 + 1.141942) = 0.7128

Jawapan

y₁ = 0.7128

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations