Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 88 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 20 °C. Selepas 6 min suhunya ialah 73 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 81 °C?

T₀ = 88 °CT_a = 20 °CT(6) = 73 °CT = 81 °C

t = min

2.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 1000 L air tulen. Air garam dengan 0.1 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 90 min?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0.1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

4.KamiranSukar

Rantau antara garis y = x dan parabola y = x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = xy = x²

V =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·e^−0.5x. Cari f′(0.5).

f(x) = x·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² + x + 3 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² + x + 3x = −2

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Petua trapezium digunakan untuk ∫₀² eˣ dx. Ralatnya paling banyak (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 2]. Cari bilangan jalur terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.0001.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0.0001

n =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) dengan h = 0.2 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 1 untuk menganggar y₂ ≈ y(0.4).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0.2

y₂ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 2.615 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(68/53)/6 = 0.04154 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(68/61)/0.04154 = 2.615 min

Jawapan

t = 2.615 min

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 36.24 kg

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.1 − (5/1000)·m = 0.5 − 0.005·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/200

Gantikan t

m(90) = 100 + (−100)·0.6376 = 36.24 kg

Jawapan

m = 36.24 kg

3.Kamiran

Jawapan: I = 0.6363

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363

Jawapan

I = 0.6363

4.Kamiran

Jawapan: V = 0.4189

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Titik persilangan

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Kaedah sesendal

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Kamirkan

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189

Jawapan

V = 0.4189

5.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 0.5841

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(1 + (−0.5)·x)

Gantikan

f′(0.5) = 0.7788·(1 + (−0.25)) = 0.5841

Jawapan

f′(0.5) = 0.5841

6.Terbitan

Jawapan: b = −9

Titik dan kecerunan

f(−2) = 13

f′(x) = 6x + 1 → f′(−2) = −11

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−11)·(−2) = −9

Jawapan

b = −9

7.Kaedah berangka

Jawapan: n = 222

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Had terbitan kedua

M = e² = 7.389

Selesaikan untuk n

n² > 8·7.389/(12·0.0001) = 49260

n > 221.9 → n = 222

Jawapan

n = 222

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₂ = 0.9889

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 1 + (0.2/2)(0 − 0.0199334) = 0.998007

y₂ = 0.998007 + (0.2/2)(−0.0179401 − 0.0733576) = 0.988877

Graf

y₂ = 0.9889

Jawapan

y₂ = 0.9889

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations