Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = -2. Cari y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = -2

y(2) =

2.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = 3x dari x = 0 ke x = 1 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

4.KamiranSukar

Rantau antara garis y = 2x dan parabola y = 2x² diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu.

y = 2xy = 2x²

V =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(3x² + 2). Cari f′(1).

f(x) = ln(3x² + 2)x = 1

f′(1) =

6.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 6. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 13.5x² + 54x + 6

x =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀² √x·e^−x dx dengan petua trapezium menggunakan n = 5 jalur. Beri T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.2 untuk y′ = −0.5y, y(0) = −1 untuk menganggar y₅ ≈ y(1).

y′ = −0.5yy(0) = −1h = 0.2

y₅ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = −0.1353

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Pemalar

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 1A → B = -2 + 1 = -1

Nilaikan

y(2) = (1 + (−1)·2)·e⁻² = −0.1353

Jawapan

y(2) = −0.1353

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 13.08

Nilai mantap dan punca

y_ss = 10, r = −1.5 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −3.75

Puncak

t = π/4 = 0.7854

y_max = 10·(1 + e^−1.5·π/4) = 13.08

Jawapan

y_max = 13.08

3.Kamiran

Jawapan: V = 9.425

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀¹ 9x² dx

Kamirkan

V = π·9·1³/3 = 9.425

Jawapan

V = 9.425

Semakan: kon berjejari 3 dan tinggi 1 mempunyai (1/3)πr²h = 9.425.

4.Kamiran

Jawapan: V = 1.676

Titik persilangan

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Kaedah sesendal

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

Kamirkan

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0.5333 = 1.676

Jawapan

V = 1.676

5.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 1.2

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

Gantikan

f′(1) = 6/5 = 1.2

Jawapan

f′(1) = 1.2

6.Terbitan

Jawapan: x = 6

Terbitan

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 6

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 27: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

Jawapan

x = 6

7.Kaedah berangka

Jawapan: T = 0.6027

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nod dan nilai

h = 0.4

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.423948 + 2·0.401892 + 2·0.329942 + 2·0.255381 + 0.191393 = 3.013718

Petua trapezium

T = (0.4/2)·3.013718 = 0.6027

Jawapan

T = 0.6027

Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₅ = −0.5905

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = −1 + 0.2·(0.5) = −0.9

y₂ = −0.9 + 0.2·(0.45) = −0.81

y₃ = −0.81 + 0.2·(0.405) = −0.729

y₄ = −0.729 + 0.2·(0.3645) = −0.6561

y₅ = −0.6561 + 0.2·(0.32805) = −0.59049

Graf

y₅ = −0.5905

Jawapan

y₅ = −0.5905

Nilai tepat ialah y(1) = −0.606531.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations