Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Adakah ¬(q ∨ ¬q) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.
¬(q ∨ ¬q)
1tautologi
2percanggahan
3kontingensi
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Premis a ∨ b; a → c; b → c diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.
a ∨ ba → cb → c
1a
2¬c
3a ∧ b
4c
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
Satu tinjauan terhadap 44 orang mendapati 13 memiliki komputer riba (L), 18 memiliki tablet (T) dan 2 memiliki kedua-duanya. Berapa orang berada dalam sekurang-kurangnya satu daripada kedua-dua set?
|U| = 44|L| = 13|T| = 18|L ∩ T| = 2
|L ∪ T| =
4.Set, hubungan & fungsiSukar
Pada X = {1, 2, …, 10} hubungan R dipenuhi apabila x ≡ y (mod 5). Berapa banyak pasangan tertib yang ada pada R? Panggil nombor ini |R|.
X = {1, …, 10}x R y ⟺ 5 | (x − y)
|R| =
5.Teori grafSederhana
Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 15 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?
|V| = 11|E| = 15
k =
6.Teori grafSukar
Berapa banyak jalan sepanjang 2 dari F ke D? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.
M = matriks kejirananL = 2
N =
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari songsangan 13 modulo 71: nombor x dengan 0 < x < 71 dan 13·x ≡ 1 (mod 71).
a = 13n = 71
13−1 mod 71 =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
Sulitkan mesej m = 13 dengan kunci awam RSA (n, e) = (55, 17). Cari teks sulit c.
n = 55e = 17m = 13
c =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: percanggahan
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Jadual kebenaran baris demi baris
q = 1: ¬q = 0, q ∨ ¬q = 1, ¬(q ∨ ¬q) = 0
q = 0: ¬q = 1, q ∨ ¬q = 1, ¬(q ∨ ¬q) = 0
Kelaskan
¬(q ∨ ¬q): 0, 0
0 dalam setiap baris: percanggahan.
Jawapan
percanggahan
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: c
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Baris dengan semua premis benar
a = 1, b = 1, c = 1: a = 1, ¬c = 0, a ∧ b = 1, c = 1
a = 1, b = 0, c = 1: a = 1, ¬c = 0, a ∧ b = 0, c = 1
a = 0, b = 1, c = 1: a = 0, ¬c = 0, a ∧ b = 0, c = 1
Kesimpulan
c (pembuktian secara kes)
Jawapan
c
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: |L ∪ T| = 29
Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Kawasan
L ∩ T: 2
L − T: 13 − 2 = 11
T − L: 18 − 2 = 16
(L ∪ T)′: 44 − (11 + 16 + 2) = 15
Jawapan
|L ∪ T| = 29
Jawapan
|L ∪ T| = 29
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: |R| = 20
Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.
Kelas
baki 0: 2
baki 1: 2
baki 2: 2
baki 3: 2
baki 4: 2
Pasangan
|R| = 2² + 2² + 2² + 2² + 2² = 20
Jawapan
|R| = 20
5.Teori graf
Jawapan: k = 5
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Sisi pokok rentang
11 − 1 = 10
Sisi untuk dibuang
k = 15 − 10 = 5
Jawapan
k = 5
6.Teori graf
Jawapan: N = 1
Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Matriks kejiranan
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Jiran sepunya
(M²)FD = 0·0 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1
Jawapan
N = 1
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 13−1 mod 71 = 11
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid lanjutan
Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·13 (mod 71).
r = 71, t = 0
r = 13, q = 5, t = 1
r = 6, q = 2, t = −5
r = 1, q = 6, t = 11
Songsangan
1 ≡ 11·13 (mod 71)
x = 11
semakan: 13·11 = 143 = 2·71 + 1
Jawapan
13−1 mod 71 = 11
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: c = 18
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.