Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Anda hendak membuktikan ¬r → (p ∧ q) secara percanggahan. Pernyataan manakah yang anda andaikan pada permulaan? Klik pernyataan itu.
¬r → (p ∧ q)
1¬¬r ∧ (p ∧ q)
2¬r ∧ ¬(p ∧ q)
3¬¬r ∧ ¬(p ∧ q)
4¬¬r → ¬(p ∧ q)
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (F(x) → G(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.
¬∀x (F(x) → G(x))
1∃x (¬F(x) ∧ G(x))
2∀x (F(x) → ¬G(x))
3∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
4∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} ialah hubungan pada {1, 2, 3, 4}. Berapakah bilangan terkecil k pasangan tertib yang mesti ditambah pada R untuk menjadikannya refleksif?
Bijeksi f pada {1, 2, 3, 4, 5} diberikan oleh jadualnya. Cari f−1(4).
f: 1 ↦ 2, 2 ↦ 5, 3 ↦ 4, 4 ↦ 3, 5 ↦ 1
f−1(4) =
5.Teori grafSederhana
Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K7? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.
K7
H =
6.Teori grafSukar
Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 3; A sendiri ialah pusingan 1.
mula: Apusingan 3
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari songsangan 23 modulo 61: nombor x dengan 0 < x < 61 dan 23·x ≡ 1 (mod 61).
a = 23n = 61
23−1 mod 61 =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 31 dan q = 43 serta eksponen awam e = 13. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).
p = 31q = 43e = 13
d =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: ¬r ∧ ¬(p ∧ q)
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Bahagian implikasi
a = ¬r, b = p ∧ q
Penafian implikasi
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬r ∧ ¬(p ∧ q)
Jawapan
¬r ∧ ¬(p ∧ q)
Jika andaian membawa kepada percanggahan, implikasi itu mestilah benar.
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Alihkan penafian ke dalam
¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Jawapan
∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: k = 4
Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.
Pasangan untuk ditambah
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
Kira
k = 4
Jawapan
k = 4
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: f−1(4) = 3
Fungsi dan pengiraan: fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B. f ialah satu-satu (injektif) apabila unsur berbeza mempunyai imej berbeza, keseluruhan (surjektif) apabila setiap unsur B ialah imej, dan bijektif apabila kedua-duanya benar. Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi satu-satu (m ≤ n), dan dengan rangkuman–penyisihan Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi keseluruhan. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Baca jadual ke belakang
f(3) = 4 → f−1(4) = 3
Jawapan
f−1(4) = 3
5.Teori graf
Jawapan: H = 360
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Kira
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Jawapan
H = 360
6.Teori graf
Jawapan: B
Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Dijkstra pusingan demi pusingan
1. A (0): B: 11, C: 1
2. C (1): B: 4, E: 11
3. B (4): D: 16
4. E (11): D: 15, F: 23
5. D (15)
6. F (23)
pusingan 3
B
Jawapan
B
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 23−1 mod 61 = 8
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid lanjutan
Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·23 (mod 61).
r = 61, t = 0
r = 23, q = 2, t = 1
r = 15, q = 1, t = −2
r = 8, q = 1, t = 3
r = 7, q = 1, t = −5
r = 1, q = 7, t = 8
Songsangan
1 ≡ 8·23 (mod 61)
x = 8
semakan: 23·8 = 184 = 3·61 + 1
Jawapan
23−1 mod 61 = 8
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: d = 97
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.