Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Adakah (p → q) ↔ (q → p) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.
(p → q) ↔ (q → p)
1tautologi
2percanggahan
3kontingensi
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Premis (a ∧ c) → b; a; ¬b diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.
(a ∧ c) → ba¬b
1c ∧ ¬b
2c
3¬c
4b
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
Tepat satu kawasan gambar rajah Venn ialah set (C′ − B′) ∩ (A − C). Klik nombornya.
(C′ − B′) ∩ (A − C)
1kawasan 1
2kawasan 2
3kawasan 3
4kawasan 4
5kawasan 5
6kawasan 6
7kawasan 7
8kawasan 8
4.Set, hubungan & fungsiSukar
Gambar rajah anak panah menunjukkan fungsi f: A → B dengan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Klik penerangan yang sesuai dengan f.
f = {(1, b), (2, a), (3, a)}
1satu-satu, bukan keseluruhan
2keseluruhan, bukan satu-satu
3bijektif
4tiada kedua-duanya
5.Teori grafSederhana
Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 16 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?
|V| = 11|E| = 16
k =
6.Teori grafSukar
Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(E) laluan terpendek dari A ke E dalam graf berpemberat.
mula: Aakhir: E
d(E) =
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari songsangan 39 modulo 83: nombor x dengan 0 < x < 83 dan 39·x ≡ 1 (mod 83).
a = 39n = 83
39−1 mod 83 =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
Kunci RSA menggunakan p = 29, q = 47 dan e = 19. Nyahsulit teks sulit c = 880: cari mesej m.
p = 29q = 47e = 19c = 880
m =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: kontingensi
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Jadual kebenaran baris demi baris
p = 1, q = 1: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1
p = 1, q = 0: p → q = 0, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 0
p = 0, q = 1: p → q = 1, q → p = 0, (p → q) ↔ (q → p) = 0
p = 0, q = 0: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) ↔ (q → p) = 1
Kelaskan
(p → q) ↔ (q → p): 1, 0, 0, 1
1 dalam 2 daripada 4 baris, 0 dalam yang lain: kontingensi.
Jawapan
kontingensi
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: ¬c
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Baris dengan semua premis benar
a = 1, b = 0, c = 0: c ∧ ¬b = 0, c = 0, ¬c = 1, b = 0
Kesimpulan
¬c (modus tollens dengan konjungsi)
Jawapan
¬c
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: kawasan 4
Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Di dalam atau di luar setiap set
A ∩ B ∩ C′
Kawasan itu
kawasan 4
Jawapan
kawasan 4
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: keseluruhan, bukan satu-satu
Fungsi dan pengiraan: fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B. f ialah satu-satu (injektif) apabila unsur berbeza mempunyai imej berbeza, keseluruhan (surjektif) apabila setiap unsur B ialah imej, dan bijektif apabila kedua-duanya benar. Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi satu-satu (m ≤ n), dan dengan rangkuman–penyisihan Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi keseluruhan. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Satu-satu?
f(2) = f(3) = a → bukan satu-satu
Keseluruhan?
setiap unsur B dicapai → keseluruhan
Jawapan
keseluruhan, bukan satu-satu
Jawapan
keseluruhan, bukan satu-satu
5.Teori graf
Jawapan: k = 6
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Sisi pokok rentang
11 − 1 = 10
Sisi untuk dibuang
k = 16 − 10 = 6
Jawapan
k = 6
6.Teori graf
Jawapan: d(E) = 20
Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Dijkstra pusingan demi pusingan
Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.
A (0): B: 6, C: 14
B (6): D: 11, E: 20
D (11): F: 16
C (14)
F (16)
E (20)
Laluan terpendek
A → B → E
d(E) = 20
Jawapan
d(E) = 20
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 39−1 mod 83 = 66
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid lanjutan
Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·39 (mod 83).
r = 83, t = 0
r = 39, q = 2, t = 1
r = 5, q = 7, t = −2
r = 4, q = 1, t = 15
r = 1, q = 4, t = −17
Songsangan
1 ≡ −17·39 (mod 83)
x = 66
semakan: 39·66 = 2574 = 31·83 + 1
Jawapan
39−1 mod 83 = 66
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: m = 768
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.