Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Anda hendak membuktikan (p ∨ r) → ¬q secara kontrapositif. Implikasi manakah yang anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.
(p ∨ r) → ¬q
1¬(p ∨ r) → ¬¬q
2¬q → (p ∨ r)
3(p ∨ r) ∧ ¬¬q
4¬¬q → ¬(p ∨ r)
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Hujah dengan premis c ∨ b; c dan kesimpulan ¬b adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.
c ∨ bc∴ ¬b
1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
Daripada 55 pelajar tahun pertama, 19 lulus Matematik (M), 24 lulus Fizik (P) dan 31 lulus Kimia (C). 7 lulus M dan P, 5 lulus M dan C, 15 lulus P dan C, dan 2 lulus ketiga-tiganya. Berapa orang berada dalam tepat satu daripada ketiga-tiga set? Panggil nombor ini n.
|U| = 55
n =
4.Set, hubungan & fungsiSukar
Fungsi f dan g pada {1, 2, 3, 4, 5} diberikan oleh jadualnya. Cari (g ∘ f)(1).
Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, 2 bucu berdarjah 5, 4 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?
2 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 2 bermula dan berakhir di B? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.
M = matriks kejirananL = 2
N =
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari songsangan 3 modulo 59: nombor x dengan 0 < x < 59 dan 3·x ≡ 1 (mod 59).
a = 3n = 59
3−1 mod 59 =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 37 dan q = 41 serta eksponen awam e = 7. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).
p = 37q = 41e = 7
d =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: ¬¬q → ¬(p ∨ r)
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Bahagian implikasi
a = p ∨ r, b = ¬q
Kontrapositif
¬b → ¬a = ¬¬q → ¬(p ∨ r)
Jawapan
¬¬q → ¬(p ∨ r)
Kontrapositif setara dengan pernyataan asal, maka membuktikannya membuktikan pernyataan itu.
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: b = 1, c = 1
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Premis dan kesimpulan baris demi baris
b = 1, c = 1: 1 1 | 0
b = 1, c = 0: 1 0 | 0
b = 0, c = 1: 1 1 | 1
b = 0, c = 0: 0 0 | 1
Contoh penyangkal
b = 1, c = 1
Jawapan
b = 1, c = 1
Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: n = 26
Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Bahagian tengah dan pasangan
M ∩ P ∩ C: 2
M ∩ P sahaja: 7 − 2 = 5
M ∩ C sahaja: 5 − 2 = 3
P ∩ C sahaja: 15 − 2 = 13
Set tunggal
M sahaja: 19 − 5 − 3 − 2 = 9
P sahaja: 24 − 5 − 13 − 2 = 4
C sahaja: 31 − 3 − 13 − 2 = 13
Jawapan
9 + 4 + 13 = 26
Jawapan
n = 26
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: (g ∘ f)(1) = 1
Fungsi dan pengiraan: fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B. f ialah satu-satu (injektif) apabila unsur berbeza mempunyai imej berbeza, keseluruhan (surjektif) apabila setiap unsur B ialah imej, dan bijektif apabila kedua-duanya benar. Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi satu-satu (m ≤ n), dan dengan rangkuman–penyisihan Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi keseluruhan. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.
Fungsi dalam
f(1) = 5
Fungsi luar
g(5) = 1
(g ∘ f)(1) = 1
Jawapan
(g ∘ f)(1) = 1
5.Teori graf
Jawapan: L = 12
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Lema jabat tangan untuk pokok
L + 26 = 2(L + 8) − 2
L = 12
Jawapan
L = 12
Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.
6.Teori graf
Jawapan: N = 4
Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Matriks kejiranan
A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Jiran sepunya
(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4
Jawapan
N = 4
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 3−1 mod 59 = 20
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritma Euclid lanjutan
Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·3 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 3, q = 19, t = 1
r = 2, q = 1, t = −19
r = 1, q = 2, t = 20
Songsangan
1 ≡ 20·3 (mod 59)
x = 20
semakan: 3·20 = 60 = 1·59 + 1
Jawapan
3−1 mod 59 = 20
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: d = 823
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.