Matematik Diskret: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Set, hubungan & fungsi

Dua set: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga set: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Beza dan pelengkap: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Set kuasa dan hasil darab: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Subset bersaiz k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Hubungan pada n unsur: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Gubahan: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Kaedah

Lukis gambar rajah Venn dan putuskan kawasan demi kawasan apa yang tergolong dalam ungkapan set itu.
Untuk soalan pengiraan, isi kawasan dari tengah ke luar: semua set, kemudian pasangan, kemudian set tunggal, kemudian bahagian luar.
Gunakan prinsip rangkuman–penyisihan sebagai semakan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soalan latihan

1.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Dalam berapa daripada 8 baris jadual kebenarannya ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) benar? Panggil nombor ini N.

¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r))

N =

2.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis p → q; r → q dan kesimpulan p → r adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

p → qr → q∴ p → r

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

3.Set, hubungan & fungsiSederhana

R = {(1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2)} ialah hubungan pada {1, 2, 3, 4}. Berapakah bilangan terkecil k pasangan tertib yang mesti ditambah pada R untuk menjadikannya transitif (saiz tutupan transitif tolak |R|)?

R = {(1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2)}

k =

4.Set, hubungan & fungsiSukar

Hubungan kesetaraan R pada {1, …, 10} mempunyai kelas {4, 5, 6}, {1, 3}, {7, 9, 10}, {2, 8}. Berapa banyak pasangan tertib yang ada pada R? Panggil nombor ini |R|.

{4, 5, 6}{1, 3}{7, 9, 10}{2, 8}

|R| =

5.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 6

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

6.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari A ke B? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Selesaikan 33x ≡ 86 (mod 92). Beri penyelesaian x dengan 0 < x < 92.

33x ≡ 86 (mod 92)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Sulitkan mesej m = 177 dengan kunci awam RSA (n, e) = (187, 23). Cari teks sulit c.

n = 187e = 23m = 177

c =

3Larutan

1.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 4

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 1, q ∧ r = 1, (q ∧ r) ∨ r = 1, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 1, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 1, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 0, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 0, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 1, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 1, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 1, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 1, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 0, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 0, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 0, q ∧ r = 1, (q ∧ r) ∨ r = 1, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 0, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, (q ∨ p) ∧ p = 0, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 0, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 1, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q ∨ p = 0, (q ∨ p) ∧ p = 0, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 1, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 0, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: q ∨ p = 0, (q ∨ p) ∧ p = 0, q ∧ r = 0, (q ∧ r) ∨ r = 0, ((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r) = 1, ¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)) = 0

Kira baris dengan nilai 1

¬(((q ∨ p) ∧ p) ↔ ((q ∧ r) ∨ r)): 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0

N = 4

Jawapan

N = 4

2.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p = 1, q = 1, r = 0

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 0

p = 1, q = 0, r = 1: 0 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 1 | 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

p = 1, q = 1, r = 0

Jawapan

p = 1, q = 1, r = 0

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

3.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: k = 4

Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.

Pasangan untuk ditambah

{(2, 3), (4, 1), (4, 3), (4, 4)}

Kira

k = 4

Jawapan

k = 4

4.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: |R| = 26

Pasangan bagi setiap kelas

|R| = 3² + 2² + 3² + 2² = 26

Jawapan

|R| = 26

5.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Bucu ganjil

A, E → 2

Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

6.Teori graf

Jawapan: N = 5

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

C: 1 0 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)_AB = 2·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 2·1 = 5

Jawapan

N = 5

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 50

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Songsangan 33

r = 92, t = 0

r = 33, q = 2, t = 1

r = 26, q = 1, t = −2

r = 7, q = 3, t = 3

r = 5, q = 1, t = −11

r = 2, q = 2, t = 14

r = 1, q = 2, t = −39

33⁻¹ ≡ 53 (mod 92)

Selesaikan

x ≡ 53·86 = 4558 ≡ 50 (mod 92)

semakan: 33·50 = 1650 ≡ 86 (mod 92)

Jawapan

x = 50

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: c = 12

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Kuasa dua berulang

23 = 16 + 4 + 2 + 1

177¹ ≡ 177 (mod 187)

177² ≡ 100 (mod 187)

177⁴ ≡ 89 (mod 187)

177⁸ ≡ 67 (mod 187)

177¹⁶ ≡ 1 (mod 187)

177²³ ≡ 177·100·89·1 ≡ 12 (mod 187)

Teks sulit

c = 12

Jawapan

c = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics