Matematik Diskret: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Set, hubungan & fungsi

Dua set: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga set: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Beza dan pelengkap: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Set kuasa dan hasil darab: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Subset bersaiz k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Hubungan pada n unsur: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Gubahan: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Kaedah

Lukis gambar rajah Venn dan putuskan kawasan demi kawasan apa yang tergolong dalam ungkapan set itu.
Untuk soalan pengiraan, isi kawasan dari tengah ke luar: semua set, kemudian pasangan, kemudian set tunggal, kemudian bahagian luar.
Gunakan prinsip rangkuman–penyisihan sebagai semakan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soalan latihan

1.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Dalam berapa daripada 8 baris jadual kebenarannya ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) benar? Panggil nombor ini N.

¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)))

N =

2.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis r → q; ¬q diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

r → q¬q

1¬r ∧ q
2¬r
3r
4q

3.Set, hubungan & fungsiSederhana

Hubungan R pada {1, 2, 3} dilukis sebagai graf terarah (gelung bermaksud (x, x) ∈ R). Tepat satu daripada empat sifat itu dipenuhi. Klik sifat itu.

R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 3)}

1refleksif
2simetri
3antisimetri
4transitif

4.Set, hubungan & fungsiSukar

Berapa banyak hubungan simetri yang ada pada set dengan 4 unsur? Panggil nombor ini N.

|X| = 4

N =

5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 10 bucu dan 18 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 10|E| = 18

k =

6.Teori grafSukar

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 5; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 5

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 7 modulo 13: nombor x dengan 0 < x < 13 dan 7·x ≡ 1 (mod 13).

a = 7n = 13

7⁻¹ mod 13 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 24x ≡ 8 (mod 32). Beri penyelesaian positif terkecil x.

24x ≡ 8 (mod 32)

x =

3Larutan

1.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 7

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, p ↔ r = 1, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, ¬r = 1, ¬r → q = 1, p ↔ r = 0, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ p = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, p ↔ r = 1, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: q ∨ p = 1, ¬r = 1, ¬r → q = 0, p ↔ r = 0, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 0, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 1, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 1, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, p ↔ r = 0, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, ¬r = 1, ¬r → q = 1, p ↔ r = 1, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: q ∨ p = 0, ¬r = 0, ¬r → q = 1, p ↔ r = 0, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: q ∨ p = 0, ¬r = 1, ¬r → q = 0, p ↔ r = 1, (¬r → q) ∨ (p ↔ r) = 1, ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, (q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r)) = 0, ¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))) = 1

Kira baris dengan nilai 1

¬((q ∨ p) ∧ ¬((¬r → q) ∨ (p ↔ r))): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

Jawapan

N = 7

2.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

q = 0, r = 0: ¬r ∧ q = 0, ¬r = 1, r = 0, q = 0

Kesimpulan

¬r (modus tollens)

Jawapan

¬r

3.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: simetri

Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.

refleksif

gagal: (1, 1) ∉ R

simetri

dipenuhi

antisimetri

gagal: (1, 2), (2, 1) ∈ R

transitif

gagal: (1, 2), (2, 1) ∈ R, (1, 1) ∉ R

Jawapan

simetri

4.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: N = 1024

Kira pilihan yang bebas

N = 2^{4 + 6} = 1024

Jawapan

N = 1024

5.Teori graf

Jawapan: k = 9

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

10 − 1 = 9

Sisi untuk dibuang

k = 18 − 9 = 9

Jawapan

k = 9

6.Teori graf

Jawapan: E

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): B: 13, C: 8

2. C (8): E: 15

3. B (13): D: 14

4. D (14)

5. E (15): F: 20

6. F (20)

pusingan 5

Jawapan

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 7⁻¹ mod 13 = 2

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·7 (mod 13).

r = 13, t = 0

r = 7, q = 1, t = 1

r = 6, q = 1, t = −1

r = 1, q = 6, t = 2

Songsangan

1 ≡ 2·7 (mod 13)

x = 2

semakan: 7·2 = 14 = 1·13 + 1

Jawapan

7⁻¹ mod 13 = 2

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 3

Bahagi dengan gcd

gcd(24, 32) = 8

3x ≡ 1 (mod 4)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

3⁻¹ ≡ 3 (mod 4) → x ≡ 3 (mod 4)

Penyelesaian modulo 32

x ∈ {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31}

x = 3

Jawapan

x = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics