Matematik Diskret: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Set, hubungan & fungsi

Dua set: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga set: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Beza dan pelengkap: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Set kuasa dan hasil darab: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Subset bersaiz k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Hubungan pada n unsur: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Gubahan: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Kaedah

Lukis gambar rajah Venn dan putuskan kawasan demi kawasan apa yang tergolong dalam ungkapan set itu.
Untuk soalan pengiraan, isi kawasan dari tengah ke luar: semua set, kemudian pasangan, kemudian set tunggal, kemudian bahagian luar.
Gunakan prinsip rangkuman–penyisihan sebagai semakan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soalan latihan

1.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan (a ∧ c) → ¬b secara kontrapositif. Implikasi manakah yang anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.

(a ∧ c) → ¬b

1(a ∧ c) ∧ ¬¬b
2¬(a ∧ c) → ¬¬b
3¬¬b → ¬(a ∧ c)
4¬b → (a ∧ c)

2.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis q → (r ∨ p); q dan kesimpulan r adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

q → (r ∨ p)q∴ r

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

3.Set, hubungan & fungsiSederhana

Satu tinjauan terhadap 58 orang mendapati 27 memiliki komputer riba (L), 36 tablet (T) dan 29 jam tangan pintar (W). 19 memiliki L dan T, 6 memiliki L dan W, 18 memiliki T dan W, dan 5 memiliki ketiga-tiganya. Berapa orang berada dalam tepat satu daripada ketiga-tiga set? Panggil nombor ini n.

|U| = 58

n =

4.Set, hubungan & fungsiSukar

Gambar rajah anak panah menunjukkan fungsi f: A → B dengan A = {1, 2} dan B = {a, b, c}. Klik penerangan yang sesuai dengan f.

f = {(1, b), (2, c)}

1satu-satu, bukan keseluruhan
2keseluruhan, bukan satu-satu
3bijektif
4tiada kedua-duanya

5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 4

L =

6.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 10

W =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 8 modulo 37: nombor x dengan 0 < x < 37 dan 8·x ≡ 1 (mod 37).

a = 8n = 37

8⁻¹ mod 37 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 44x ≡ 76 (mod 84). Beri penyelesaian positif terkecil x.

44x ≡ 76 (mod 84)

x =

3Larutan

1.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬¬b → ¬(a ∧ c)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = a ∧ c, b = ¬b

Kontrapositif

¬b → ¬a = ¬¬b → ¬(a ∧ c)

Jawapan

¬¬b → ¬(a ∧ c)

Kontrapositif setara dengan pernyataan asal, maka membuktikannya membuktikan pernyataan itu.

2.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p = 1, q = 1, r = 0

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0

Contoh penyangkal

p = 1, q = 1, r = 0

Jawapan

p = 1, q = 1, r = 0

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

3.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: n = 21

Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Bahagian tengah dan pasangan

L ∩ T ∩ W: 5

L ∩ T sahaja: 19 − 5 = 14

L ∩ W sahaja: 6 − 5 = 1

T ∩ W sahaja: 18 − 5 = 13

Set tunggal

L sahaja: 27 − 14 − 1 − 5 = 7

T sahaja: 36 − 14 − 13 − 5 = 4

W sahaja: 29 − 1 − 13 − 5 = 10

Jawapan

7 + 4 + 10 = 21

Jawapan

n = 21

4.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: satu-satu, bukan keseluruhan

Fungsi dan pengiraan: fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B. f ialah satu-satu (injektif) apabila unsur berbeza mempunyai imej berbeza, keseluruhan (surjektif) apabila setiap unsur B ialah imej, dan bijektif apabila kedua-duanya benar. Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi satu-satu (m ≤ n), dan dengan rangkuman–penyisihan Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi keseluruhan. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.

Satu-satu?

setiap unsur B dicapai paling banyak sekali → satu-satu

Keseluruhan?

a tidak menerima anak panah → bukan keseluruhan

Jawapan

satu-satu, bukan keseluruhan

Jawapan

satu-satu, bukan keseluruhan

5.Teori graf

Jawapan: L = 6

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 8 = 2(L + 2) − 2

L = 6

Jawapan

L = 6

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: W = 57

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

AC (1): ambil

BC (5): ambil

AB (8): langkau, menutup kitaran

GD (9): ambil

CE (12): ambil

GE (13): ambil

GC (14): langkau, menutup kitaran

DE (15): langkau, menutup kitaran

BD (16): langkau, menutup kitaran

EF (17): ambil

Jumlah berat

W = 1 + 5 + 9 + 12 + 13 + 17 = 57

Jawapan

W = 57

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 8⁻¹ mod 37 = 14

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·8 (mod 37).

r = 37, t = 0

r = 8, q = 4, t = 1

r = 5, q = 1, t = −4

r = 3, q = 1, t = 5

r = 2, q = 1, t = −9

r = 1, q = 2, t = 14

Songsangan

1 ≡ 14·8 (mod 37)

x = 14

semakan: 8·14 = 112 = 3·37 + 1

Jawapan

8⁻¹ mod 37 = 14

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 17

Bahagi dengan gcd

gcd(44, 84) = 4

11x ≡ 19 (mod 21)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

11⁻¹ ≡ 2 (mod 21) → x ≡ 17 (mod 21)

Penyelesaian modulo 84

x ∈ {17, 38, 59, 80}

x = 17

Jawapan

x = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics