Matematik Diskret: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Set, hubungan & fungsi

Dua set: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Tiga set: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Beza dan pelengkap: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Set kuasa dan hasil darab: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Subset bersaiz k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fungsi A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Hubungan pada n unsur: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Gubahan: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Kaedah

Lukis gambar rajah Venn dan putuskan kawasan demi kawasan apa yang tergolong dalam ungkapan set itu.
Untuk soalan pengiraan, isi kawasan dari tengah ke luar: semua set, kemudian pasangan, kemudian set tunggal, kemudian bahagian luar.
Gunakan prinsip rangkuman–penyisihan sebagai semakan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Soalan latihan

1.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan (q ∧ r) → p? Klik formula itu.

(q ∧ r) → p

1q ∧ (r → p)
2q → (r → p)
3(q → p) ∧ (r → p)
4(q → r) → p

2.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (A(x) → B(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (A(x) → B(x))

1∃x (A(x) → ¬B(x))
2∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∧ B(x))

3.Set, hubungan & fungsiSederhana

Daripada 73 pelajar tahun pertama, 41 lulus Matematik (M), 28 lulus Fizik (P) dan 38 lulus Kimia (C). 13 lulus M dan P, 18 lulus M dan C, 15 lulus P dan C, dan 4 lulus ketiga-tiganya. Berapa orang tidak berada dalam mana-mana daripada ketiga-tiga set?

|U| = 73

|(M ∪ P ∪ C)′| =

4.Set, hubungan & fungsiSukar

Gambar rajah anak panah menunjukkan fungsi f: A → B dengan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c, d, e}. Klik penerangan yang sesuai dengan f.

f = {(1, c), (2, b), (3, a)}

1satu-satu, bukan keseluruhan
2keseluruhan, bukan satu-satu
3bijektif
4tiada kedua-duanya

5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 16 bucu dan 22 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 16|E| = 22

k =

6.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 10

W =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 87 modulo 97: nombor x dengan 0 < x < 97 dan 87·x ≡ 1 (mod 97).

a = 87n = 97

87⁻¹ mod 97 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 5 dan q = 11 serta eksponen awam e = 13. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 11e = 13

d =

3Larutan

1.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: q → (r → p)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

Eksportasi: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Kedua-duanya 0 hanya apabila a = 1, b = 1 dan c = 0.

(q ∧ r) → p ≡ q → (r → p)

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 0

Jawapan

q → (r → p)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

2.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (A(x) → B(x)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Jawapan

∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

3.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: |(M ∪ P ∪ C)′| = 8

Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Bahagian tengah dan pasangan

M ∩ P ∩ C: 4

M ∩ P sahaja: 13 − 4 = 9

M ∩ C sahaja: 18 − 4 = 14

P ∩ C sahaja: 15 − 4 = 11

Set tunggal

M sahaja: 41 − 9 − 14 − 4 = 14

P sahaja: 28 − 9 − 11 − 4 = 4

C sahaja: 38 − 14 − 11 − 4 = 9

Jawapan

|M ∪ P ∪ C| = 65

|(M ∪ P ∪ C)′| = 73 − 65 = 8

Jawapan

|(M ∪ P ∪ C)′| = 8

4.Set, hubungan & fungsi

Jawapan: satu-satu, bukan keseluruhan

Fungsi dan pengiraan: fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B. f ialah satu-satu (injektif) apabila unsur berbeza mempunyai imej berbeza, keseluruhan (surjektif) apabila setiap unsur B ialah imej, dan bijektif apabila kedua-duanya benar. Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi, n!/(n − m)! fungsi satu-satu (m ≤ n), dan dengan rangkuman–penyisihan Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fungsi keseluruhan. |𝒫(A)| = 2ᵐ dan |A × B| = m·n.

Satu-satu?

setiap unsur B dicapai paling banyak sekali → satu-satu

Keseluruhan?

d, e tidak menerima anak panah → bukan keseluruhan

Jawapan

satu-satu, bukan keseluruhan

Jawapan

satu-satu, bukan keseluruhan

5.Teori graf

Jawapan: k = 7

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

16 − 1 = 15

Sisi untuk dibuang

k = 22 − 15 = 7

Jawapan

k = 7

6.Teori graf

Jawapan: W = 42

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

CE (1): ambil

GD (4): ambil

EF (5): ambil

DF (6): ambil

AB (10): ambil

GE (14): langkau, menutup kitaran

GC (15): langkau, menutup kitaran

BC (16): ambil

Jumlah berat

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 10 + 16 = 42

Jawapan

W = 42

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 87⁻¹ mod 97 = 29

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·87 (mod 97).

r = 97, t = 0

r = 87, q = 1, t = 1

r = 10, q = 8, t = −1

r = 7, q = 1, t = 9

r = 3, q = 2, t = −10

r = 1, q = 3, t = 29

Songsangan

1 ≡ 29·87 (mod 97)

x = 29

semakan: 87·29 = 2523 = 26·97 + 1

Jawapan

87⁻¹ mod 97 = 29

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 37

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 5·11 = 55

φ(n) = 4·10 = 40

Algoritma Euclid lanjutan

r = 40, t = 0

r = 13, q = 3, t = 1

r = 1, q = 13, t = −3

Eksponen persendirian

d = 37

semakan: 13·37 = 481 = 12·40 + 1

Jawapan

d = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics