Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(p ∨ r)? Klik formula itu.
¬(p ∨ r)
1¬p ∧ ¬r
2¬p ∧ r
3p ∨ ¬r
4¬p ∨ ¬r
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Hujah dengan premis p → r; ¬p dan kesimpulan ¬r adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.
p → r¬p∴ ¬r
1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
Dalam kumpulan 60 pelajar, 39 bertutur bahasa Perancis (F), 30 bertutur bahasa Jerman (G) dan 24 bertutur bahasa Sepanyol (S). 19 bertutur bahasa Perancis dan Jerman, 12 bahasa Perancis dan Sepanyol, 9 bahasa Jerman dan Sepanyol, dan 5 bertutur ketiga-tiganya. Berapa orang tidak berada dalam mana-mana daripada ketiga-tiga set?
|U| = 60
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Set, hubungan & fungsiSukar
Berapa banyak hubungan refleksif yang ada pada set dengan 4 unsur? Panggil nombor ini N.
|X| = 4
N =
5.Teori grafSederhana
Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.
|V| = 7|E| = 10
1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari D ke F? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.
M = matriks kejirananL = 3
N =
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 4 (mod 5) dan x ≡ 0 (mod 7).
x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 0 (mod 7)
x =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
73 ialah nombor perdana. Gunakan teorem kecil Fermat untuk mencari 2813456 mod 73.
p = 73k = 13456
2813456 mod 73 =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: ¬p ∧ ¬r
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Hukum
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨ bertukar menjadi ∧ dan kedua-dua bahagian dinafikan.
¬(p ∨ r) ≡ ¬p ∧ ¬r
Semak dengan jadual kebenaran
p = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
p = 1, r = 0: 0 | 0 0 1 1
p = 0, r = 1: 0 | 0 1 0 1
p = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1
Jawapan
¬p ∧ ¬r
Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: p = 0, r = 1
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Premis dan kesimpulan baris demi baris
p = 1, r = 1: 1 0 | 0
p = 1, r = 0: 0 0 | 1
p = 0, r = 1: 1 1 | 0
p = 0, r = 0: 1 1 | 1
Contoh penyangkal
p = 0, r = 1
Jawapan
p = 0, r = 1
Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: |(F ∪ G ∪ S)′| = 2
Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Bahagian tengah dan pasangan
F ∩ G ∩ S: 5
F ∩ G sahaja: 19 − 5 = 14
F ∩ S sahaja: 12 − 5 = 7
G ∩ S sahaja: 9 − 5 = 4
Set tunggal
F sahaja: 39 − 14 − 7 − 5 = 13
G sahaja: 30 − 14 − 4 − 5 = 7
S sahaja: 24 − 7 − 4 − 5 = 8
Jawapan
|F ∪ G ∪ S| = 58
|(F ∪ G ∪ S)′| = 60 − 58 = 2
Jawapan
|(F ∪ G ∪ S)′| = 2
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: N = 4096
Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.
Kira pilihan yang bebas
N = 24² − 4 = 4096
Jawapan
N = 4096
5.Teori graf
Jawapan: tiada kedua-duanya
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Matriks kejiranan
A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
Satu langkah lagi
(M³)DF = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 3·1 + 2·1 + 1·0 = 5
Jawapan
N = 5
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: x = 14
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kongruen pertama
x = 4 + 5k
Kongruen kedua
4 + 5k ≡ 0 (mod 7) → 5k ≡ 3 (mod 7)
k ≡ 3·3 ≡ 2 (mod 7)
Keputusan
x = 4 + 5·2 = 14
x = 14
semakan: 14 mod 5 = 4, 14 mod 7 = 0
Jawapan
x = 14
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 2813456 mod 73 = 32
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.