Untuk suatu hubungan, uji setiap sifat pada setiap pasangan dan beri satu contoh penyangkal apabila ia gagal.
Untuk suatu fungsi, kira anak panah yang tiba pada setiap unsur B: paling banyak satu bermaksud fungsi satu-satu, sekurang-kurangnya satu bermaksud fungsi keseluruhan.
Teori graf
Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij
Kaedah
Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).
Teori nombor & aritmetik modulo
Pembahagian dengan baki
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Kaedah
Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Soalan latihan
1.Logik proposisi & pembuktianSederhana
Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(r → p)? Klik formula itu.
¬(r → p)
1r ∧ ¬p
2¬r → ¬p
3r → ¬p
4¬r ∨ ¬p
2.Logik proposisi & pembuktianSukar
Premis p ∨ q; p → r; q → r diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.
p ∨ qp → rq → r
1¬r
2p ∧ q
3p
4r
3.Set, hubungan & fungsiSederhana
Tepat satu kawasan gambar rajah Venn ialah set (B′ − A′) − (B ∪ C). Klik nombornya.
(B′ − A′) − (B ∪ C)
1kawasan 1
2kawasan 2
3kawasan 3
4kawasan 4
5kawasan 5
6kawasan 6
7kawasan 7
8kawasan 8
4.Set, hubungan & fungsiSukar
Hubungan kesetaraan R pada {1, …, 6} mempunyai kelas {2, 6}, {4}, {1, 3, 5}. Berapa banyak pasangan tertib yang ada pada R? Panggil nombor ini |R|.
{2, 6}{4}{1, 3, 5}
|R| =
5.Teori grafSederhana
Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 3, 2 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, 3 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?
2 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 5; sisi yang dilangkau tidak dikira.
k = 5
1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi DE
5sisi DF
6sisi EF
7sisi GB
8sisi GC
9sisi GD
10sisi GE
7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana
Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 2 (mod 3) dan x ≡ 9 (mod 11).
x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 9 (mod 11)
x =
8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar
Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 3533 mod 41.
a = 35k = 33n = 41
3533 mod 41 =
3Larutan
1.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: r ∧ ¬p
Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Hukum
¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b: satu-satunya baris yang implikasinya gagal.
¬(r → p) ≡ r ∧ ¬p
Semak dengan jadual kebenaran
p = 1, r = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 1, r = 0: 0 | 0 0 1 1
p = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 1
Jawapan
r ∧ ¬p
Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.
2.Logik proposisi & pembuktian
Jawapan: r
Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.
Baris dengan semua premis benar
p = 1, q = 1, r = 1: ¬r = 0, p ∧ q = 1, p = 1, r = 1
p = 1, q = 0, r = 1: ¬r = 0, p ∧ q = 0, p = 1, r = 1
p = 0, q = 1, r = 1: ¬r = 0, p ∧ q = 0, p = 0, r = 1
Kesimpulan
r (pembuktian secara kes)
Jawapan
r
3.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: kawasan 4
Set dan gambar rajah Venn: A ∪ B mengandungi unsur dalam A atau B (atau kedua-duanya), A ∩ B unsur dalam kedua-duanya, A − B unsur A yang tidak ada dalam B, dan pelengkap A′ ialah segala-galanya dalam U yang tidak ada dalam A. Dalam gambar rajah Venn, setiap ungkapan set ialah kesatuan kawasan, maka kira kawasan demi kawasan. Rangkuman–penyisihan: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, dan |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Di dalam atau di luar setiap set
A ∩ B′ ∩ C′
Kawasan itu
kawasan 4
Jawapan
kawasan 4
4.Set, hubungan & fungsi
Jawapan: |R| = 14
Hubungan: hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y). R refleksif apabila (x, x) ∈ R untuk setiap x dalam X; simetri apabila (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R; antisimetri apabila (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya jika x = y; dan transitif apabila (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R. Hubungan kesetaraan ialah refleksif, simetri dan transitif, dan membahagikan X kepada kelas terasing.
Pasangan bagi setiap kelas
|R| = 2² + 1² + 3² = 14
Jawapan
|R| = 14
5.Teori graf
Jawapan: L = 17
Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.
Lema jabat tangan untuk pokok
L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17
Jawapan
L = 17
Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.
6.Teori graf
Jawapan: sisi GC
Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.
Algoritma Kruskal
1. GE (1)
2. EF (2)
3. BC (4)
4. AB (7)
5. GC (9)
6. DF (13)
nombor sisi 5
GC
Jawapan
sisi GC
7.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: x = 20
Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kongruen pertama
x = 2 + 3k
Kongruen kedua
2 + 3k ≡ 9 (mod 11) → 3k ≡ 7 (mod 11)
k ≡ 4·7 ≡ 6 (mod 11)
Keputusan
x = 2 + 3·6 = 20
x = 20
semakan: 20 mod 3 = 2, 20 mod 11 = 9
Jawapan
x = 20
8.Teori nombor & aritmetik modulo
Jawapan: 3533 mod 41 = 24
Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.