Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(x² + 4). Cari f′(3).

f(x) = ln(x² + 4)x = 3

f′(3) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 15x² + 63x − 1. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ − 15x² + 63x − 1

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 12∠−40° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian khayalan b.

r = 12θ = −40°

b =

8.Nombor kompleksSukar

Satu punca bagi z³ − z² − 7z + 15 = 0 ialah z₁ = 2 + j. Pekalinya nyata. Cari punca nyata r.

z₁ = 2 + j

r =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 80 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 22 °C. Selepas 9 min suhunya ialah 62 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 80 °CT_a = 22 °CT(9) = 62 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 4y′ + 20y = 20 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [5 3 1; −4 −4 2; −3 1 4]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 3; 2 −3]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (−5, −6, 4) dan b = (3, 1, k) berserenjang.

a = (−5, −6, 4)b = (3, 1, k)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−1, 1, 0), b = (−1, 1, −5) dan c = (−2, −5, −3).

a = (−1, 1, 0)b = (−1, 1, −5)c = (−2, −5, −3)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2

σ =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.2, 0.2, 0.25Y = −2X + 10

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 54, 11, 59, 59, 26.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 67.5.

μ = 70σ = 5x = 67.5

z =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.8230. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8230

z =

20.Taburan normalSukar

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.1353

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

Buat songsangan logaritma

L = e⁻² = 0.1353

Jawapan

L = 0.1353

2.Had

Jawapan: L = 0.4

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

Gantikan x = 0

L = 2/5 = 0.4

Jawapan

L = 0.4

3.Terbitan

Jawapan: f′(3) = 0.4615

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Gantikan

f′(3) = 6/13 = 0.4615

Jawapan

f′(3) = 0.4615

4.Terbitan

Jawapan: x = 3

Terbitan

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 7

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 30: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 3

Jawapan

x = 3

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.9502

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^−x/(−1)

Nilaikan pada had

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

Jawapan

I = 0.9502

6.Kamiran

Jawapan: I = 0.7183

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

Jawapan

I = 0.7183

7.Nombor kompleks

Jawapan: b = −7.713

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 12·cos(−40°) = 9.193

b = 12·sin(−40°) = −7.713

Bentuk Cartes

z = 9.193 − j7.713

b = −7.713

Jawapan

b = −7.713

8.Nombor kompleks

Jawapan: r = −3

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = 2 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 1²) = z² − 4z + 5

Faktorkan kuadratik itu

z³ − z² − 7z + 15 = (z² − 4z + 5)(z + 3)

Punca nyata

r = −3

Jawapan

r = −3

Semak dengan hasil tambah punca: z₁ + z₂ + r = 4 + (−3) = 1 = −(−1).

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.04128 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−9k = 40/58

Selesaikan untuk k

k = ln(58/40)/9 = 0.04128 min⁻¹

Jawapan

k = 0.04128 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = 1.14

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Nilai mantap dan punca

y_ss = 1, r = −2 ± 4j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −0.5

Nilaikan

y(1) = 1·(1 − e⁻²(cos 4 + 0.5·sin 4)) = 1.14

Jawapan

y(1) = 1.14

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −76

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −18, M₁₂ = −10, M₁₃ = −16

Pengembangan kofaktor

det A = 5·(−18) − 3·(−10) + 1·(−16) = −76

Jawapan

det A = −76

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 3

Persamaan cirian

λ² − (−1)λ + (−12) = 0

Selesaikan

λ = (−1 ± √(49))/2 → λ = −4, 3

λ = 3

Jawapan

λ = 3

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 5.25

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−5)·3 + (−6)·1 + 4·k = 0

−21 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−21)/4 = 5.25

Jawapan

k = 5.25

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 35

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·(−3) − (−5)·(−5) = −28

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·(−2) − (−1)·(−3) = 7

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−5) − 1·(−2) = 7

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−1)·(−28) + 1·7 + 0·7 = 35

V = |35| = 35

Jawapan

V = 35

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.122

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 = 1.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 = 2.7

Varians

Var(X) = 2.7 − 1.2² = 1.26

σ = √1.26 = 1.122

Jawapan

σ = 1.122

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.779

Serakan X

μ = 2.7, Var(X) = 5.71, σ_X = 2.39

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·2.39 = 4.779

Jawapan

σ_Y = 4.779

Min memang berubah: E(Y) = −2·2.7 + 10 = 4.6.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.97

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 259/6 = 43.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6.833² + 10.83² + (−32.17)² + 15.83² + 15.83² + (−17.17)² = 1995

Sisihan piawai

s = √(1995/5) = 19.97

Jawapan

s = 19.97

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (67.5 − 70)/5 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

19.Taburan normal

Jawapan: z = 1.35

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.8230)/2 = 0.9115

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9115 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.35

Jawapan

z = 1.35

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics