Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 0.5/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 2x² + x − 2 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x² + x − 2x = 1

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx.

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 8∠−75° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 8θ = −75°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Gunakan teorem De Moivre untuk mencari bahagian nyata z⁴ bagi z = 1 + j.

z = 1 + jn = 4

Re(z⁴) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 8y′ + 16y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -1. Cari y(1.5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(1.5) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 2y′ + 17y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.5); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₁ (baris 2, lajur 1).

A = [4 2; 1 5]B = [4 −2; −1 1]

c₂₁ =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [0 2; −6 −7]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−3, 0, −6) dan b = (−6, 0, −6), dalam darjah.

a = (−3, 0, −6)b = (−6, 0, −6)

θ = °

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (1, 5, −4) dan b = (−5, −4, 0), cari komponen-x (a × b)_x hasil darab silang a × b.

a = (1, 5, −4)b = (−5, −4, 0)

(a × b)_x =

15.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 8 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 8

P =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €40 dengan kebarangkalian 0.15 dan €500 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €10€40: p = 0.15€500: p = 0.01

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 40, 58, 22, 17, 33, 41, 25.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 112?

μ = 100σ = 12x = 112

P =

19.Taburan normalSederhana

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya di bawah 316 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 316 kg

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 1.649

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0.5/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0.5 = 0.5

Buat songsangan logaritma

L = e^0.5 = 1.649

Jawapan

L = 1.649

2.Had

Jawapan: L = 3.125

Penggunaan pertama

5·sin 5x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

25·cos 5x/8

Gantikan x = 0

L = 25/8 = 3.125

Jawapan

L = 3.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.077

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

Jawapan

f′(2) = 0.077

4.Terbitan

Jawapan: b = −4

Titik dan kecerunan

f(1) = 1

f′(x) = 4x + 1 → f′(1) = 5

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 5·1 = −4

Jawapan

b = −4

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.6321

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^−x/(−1)

Nilaikan pada had

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0.3679 − 1)/(−1) = 0.6321

Jawapan

I = 0.6321

6.Kamiran

Jawapan: I = 0.0609

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

Jawapan

I = 0.0609

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = 2.071

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 8·cos(−75°) = 2.071

b = 8·sin(−75°) = −7.727

Bentuk Cartes

z = 2.071 − j7.727

a = 2.071

Jawapan

a = 2.071

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z⁴) = −4

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = 1 + j = √2∠45°

De Moivre

z⁴ = (√2)⁴∠180° = 4∠180°

Bentuk Cartes

z⁴ = 4·(cos 180° + j sin 180°) = −4

Re(z⁴) = −4

Jawapan

Re(z⁴) = −4

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.03098

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 4)² = 0 → r = −4

Pemalar

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = -1 + 8 = 7

Nilaikan

y(1.5) = (2 + 7·1.5)·e⁻⁶ = 0.03098

Jawapan

y(1.5) = 0.03098

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.5) = −0.2291

Punca kompleks

r = −1 ± 4j

Pemalar

A = 2, B = 1·2/4 = 0.5

Nilaikan

y(0.5) = e^−0.5(2·cos 2 + 0.5·sin 2) = −0.2291

Jawapan

y(0.5) = −0.2291

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₁ = −1

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₁ = 1·4 + 5·(−1) = −1

Jawapan

c₂₁ = −1

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = −3

Persamaan cirian

λ² − (−7)λ + (12) = 0

Selesaikan

λ = (−7 ± √(1))/2 → λ = −4, −3

λ = −3

Jawapan

λ = −3

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 18.43 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−3)·(−6) + 0·0 + (−6)·(−6) = 54

Magnitud

|a| = √((−3)² + 0² + (−6)²) = 6.708

|b| = √((−6)² + 0² + (−6)²) = 8.485

Sudut

cos θ = 54/(6.708·8.485) = 0.9487

θ = arccos(0.9487) = 18.43°

Jawapan

θ = 18.43°

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_x = −16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·0 − (−4)·(−4) = −16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−5) − 1·0 = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−4) − 5·(−5) = 21

Komponen yang diminta

(a × b)_x = −16

Jawapan

(a × b)_x = −16

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7674

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

Jawapan

P = 0.7674

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 30 (p = 0.15), 490 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)

Nilai jangkaan

E(G) = 30·0.15 + 490·0.01 − 10·0.84 = 1 €

Jawapan

E(G) = 1 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 236/7 = 33.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6.286² + 24.29² + (−11.71)² + (−16.71)² + (−0.7143)² + 7.286² + (−8.714)² = 1175

Sisihan piawai

s = √(1175/6) = 14

Jawapan

s = 14

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Piawaikan

z = 1

Jadual normal piawai

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1587

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Piawaikan

z = (316 − 340)/24 = −1

Kebarangkalian

P = Φ(−1) = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8849

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics