Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (5x³ + x − 4)/(x³ + 6x + 3).

f(x) = (5x³ + x − 4)/(x³ + 6x + 3)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 3x² + 1. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 3x² + 1

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^0.5x dx.

f(x) = e^0.5x[0, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 12∠160° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 12θ = 160°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Selesaikan z² − 5z + 7.25 = 0. Puncanya ialah a ± jb; cari b > 0.

p = −5q = 7.25

b =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 82 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 24 °C. Selepas 25 min suhunya ialah 30 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 61 °C?

T₀ = 82 °CT_a = 24 °CT(25) = 30 °CT = 61 °C

t = min

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = x² bagi x > 0, dengan y(1) = 5. Cari y(3).

y′ + y/x = x²y(1) = 5

y(3) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₂ (baris 2, lajur 2).

A = [−4 6; 0 5]B = [4 5; −4 −5]

c₂₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 3; −4 −5]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (−3, −2, 2) dan b = (3, k, −4) berserenjang.

a = (−3, −2, 2)b = (3, k, −4)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (−3, 1, 2) dan b = (1, 4, 6).

a = (−3, 1, 2)b = (1, 4, 6)

A =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

σ =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 1

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 41, 39, 47, 38, 21, 26, 32.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 106.3?

μ = 100σ = 5x = 106.3

P =

19.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 35.1 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

20.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 25% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah25%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(5 + 1/x² + (−4)/x³)/(1 + 6/x² + 3/x³)

Biarkan x → ∞

L = 5/1 = 5

Jawapan

L = 5

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 0.6

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

Gantikan x = 0

L = 3/5 = 0.6

Jawapan

L = 0.6

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(1) = 1.382

4.Terbitan

Jawapan: x = −2

Terbitan

f′(x) = 3x² + 6x = 3·(x² + 2x)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = 0

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 6: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−2) = −6, f″(0) = 6

x = −2

Jawapan

x = −2

5.Kamiran

Jawapan: I = 6.963

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^0.5x/0.5

Nilaikan pada had

I = (e^1.5 − 1)/0.5 = (4.482 − 1)/0.5 = 6.963

Jawapan

I = 6.963

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = −11.28

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 12·cos(160°) = −11.28

b = 12·sin(160°) = 4.104

Bentuk Cartes

z = −11.28 + j4.104

a = −11.28

Jawapan

a = −11.28

8.Nombor kompleks

Jawapan: b = 1

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 25 − 29 = −4 < 0

Rumus kuadratik

z = (5 ± j√4)/2 = 2.5 + j, 2.5 − j

Jawapan

b = 1

Jawapan

b = 1

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 4.954 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(58/6)/25 = 0.09075 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(58/37)/0.09075 = 4.954 min

Jawapan

t = 4.954 min

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(3) = 8.333

Faktor pengamiran

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Kamirkan

(x¹y)′ = x³ → x¹y = 1x⁴/4 + C

Syarat awal

5 = 1/4 + C → C = 4.75

Nilaikan

y(3) = (1·3⁴/4 + 4.75)/3¹ = 8.333

Jawapan

y(3) = 8.333

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₂ = −25

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₂ = 0·5 + 5·(−5) = −25

Jawapan

c₂₂ = −25

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = −1

Persamaan cirian

λ² − (−3)λ + (2) = 0

Selesaikan

λ = (−3 ± √(1))/2 → λ = −2, −1

λ = −1

Jawapan

λ = −1

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = −8.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−3)·3 + (−2)·k + 2·(−4) = 0

−17 + (−2)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−17)/(−2) = −8.5

Jawapan

k = −8.5

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 23.94

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·6 − 2·4 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·1 − (−3)·6 = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − 1·1 = −13

Luas

A = |a × b| = √((−2)² + 20² + (−13)²) = 23.94

Jawapan

A = 23.94

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8367

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

Varians

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

σ = √0.7 = 0.8367

Jawapan

σ = 0.8367

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.4023

Serakan X

μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·0.8047 = 0.4023

Jawapan

σ_Y = 0.4023

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·1.05 + 1 = 1.525.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.045

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 244/7 = 34.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6.143² + 4.143² + 12.14² + 3.143² + (−13.86)² + (−8.857)² + (−2.857)² = 490.9

Sisihan piawai

s = √(490.9/6) = 9.045

Jawapan

s = 9.045

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8944

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

Jawapan

P = 0.8944

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1075

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

Ekor atas

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

Jawapan

P = 0.1075

20.Taburan normal

Jawapan: x = 110.1 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.75

z daripada jadual

z ≈ 0.67

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.67·15 = 110.1 markah

Jawapan

x = 110.1 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics