Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x².

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² − 2x − 5 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² − 2x − 5x = 2

b =

5.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = 3x dari x = 0 ke x = 1 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 9 − x² dan paksi-x.

y = 9 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 5∠30° dan z₂ = 1.5∠−95°, cari bahagian khayalan w = z₁/z₂.

z₁ = 5∠30°z₂ = 1.5∠−95°

Im(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Tepat satu daripada titik A–D ialah punca bagi z³ = 8∠−90°. Klik titik itu.

w = 8∠−90°n = 3

1A (2∠90°)
2B (2∠60°)
3C (2∠150°)
4D (3.6∠150°)

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 83 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 20 °C. Selepas 12 min suhunya ialah 41 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 83 °CT_a = 20 °CT(12) = 41 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 3y = 2e^−2t dengan y(0) = 3. Cari y(1).

y′ + 3y = 2e^−2ty(0) = 3

y(1) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₁ (baris 2, lajur 1).

A = [−5 5; −2 −3]B = [−2 6; −6 −6]

c₂₁ =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [5 −1; −1 5]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (30, 15, 0) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−3, 0, 1) ke titik B(5, 3, −1). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (30, 15, 0) NA(−3, 0, 1) mB(5, 3, −1) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (−3, −5, 4) dan b = (2, −5, −3), cari komponen-x (a × b)_x hasil darab silang a × b.

a = (−3, −5, 4)b = (2, −5, −3)

(a × b)_x =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.1 dan €50 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€10: p = 0.1€50: p = 0.02

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 28, 31, 16, 25, 34, 48.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 104.8?

μ = 100σ = 8x = 104.8

P =

19.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 420 dan 540 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 540

P =

20.Taburan normalSukar

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 403.4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Buat songsangan logaritma

L = e⁶ = 403.4

Jawapan

L = 403.4

2.Had

Jawapan: L = 0.125

Penggunaan pertama

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e^−0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(1) = 1.382

4.Terbitan

Jawapan: b = −7

Titik dan kecerunan

f(2) = −7

f′(x) = x − 2 → f′(2) = 0

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − 0·2 = −7

Jawapan

b = −7

5.Kamiran

Jawapan: V = 9.425

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀¹ 9x² dx

Kamirkan

V = π·9·1³/3 = 9.425

Jawapan

V = 9.425

Semakan: kon berjejari 3 dan tinggi 1 mempunyai (1/3)πr²h = 9.425.

6.Kamiran

Jawapan: A = 36

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

9 − x² = 0 → x = ±3

Kamirkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawapan

A = 36

7.Nombor kompleks

Jawapan: Im(w) = 2.731

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 5 / 1.5 = 3.333

θ = 30° − (−95)° = 125°

Bentuk Cartes

Re(w) = 3.333·cos(125°) = −1.912

Im(w) = 3.333·sin(125°) = 2.731

Im(w) = 2.731

Jawapan

Im(w) = 2.731

8.Nombor kompleks

Jawapan: A (2∠90°)

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen punca-punca

|z| = 2

θ = −30°, 90°, −150°

Titik itu

A = 2∠90°

Jawapan

A (2∠90°)

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.09155 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−12k = 21/63

Selesaikan untuk k

k = ln(63/21)/12 = 0.09155 min⁻¹

Jawapan

k = 0.09155 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = 0.3205

Faktor pengamiran

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 2e^t

Penyelesaian am

y = 2/1·e^−2t + C·e^−3t = 2·e^−2t + C·e^−3t

Syarat awal

3 = 2 + C → C = 1

Nilaikan

y(1) = 2·0.1353 + 1·0.04979 = 0.3205

Jawapan

y(1) = 0.3205

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₁ = 22

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₁ = (−2)·(−2) + (−3)·(−6) = 22

Jawapan

c₂₁ = 22

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 6

Persamaan cirian

λ² − (10)λ + (24) = 0

Selesaikan

λ = (10 ± √(4))/2 → λ = 4, 6

λ = 6

Jawapan

λ = 6

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 285 J

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (5, 3, −1) − (−3, 0, 1) = (8, 3, −2) m

Kerja

W = F·d = 30·8 + 15·3 + 0·(−2) = 285 J

Jawapan

W = 285 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_x = 35

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−3) − 4·(−5) = 35

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − (−3)·(−3) = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−5) − (−5)·2 = 25

Komponen yang diminta

(a × b)_x = 35

Jawapan

(a × b)_x = 35

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 11.66

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.25 + 20·0.05 + 30·0.35 + 40·0.35 = 28

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.05 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 920

Varians

Var(X) = 920 − 28² = 136

σ = √136 = 11.66

Jawapan

σ = 11.66

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −3 €

Hasil bersih

G: 5 (p = 0.1), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.88)

Nilai jangkaan

E(G) = 5·0.1 + 45·0.02 − 5·0.88 = −3 €

Jawapan

E(G) = −3 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.63

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 182/6 = 30.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−2.333)² + 0.6667² + (−14.33)² + (−5.333)² + 3.667² + 17.67² = 565.3

Sisihan piawai

s = √(565.3/5) = 10.63

Jawapan

s = 10.63

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7257

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

Jawapan

P = 0.7257

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8186

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Luas antara

P = Φ(1) − Φ(−2) = 0.8413 − 0.02275 = 0.8186

Jawapan

P = 0.8186

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics