Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (−5x³ − x − 3)/(x³ + 6x + 1).

f(x) = (−5x³ − x − 3)/(x³ + 6x + 1)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x².

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^x. Cari f′(1.5).

f(x) = x³·e^xx = 1.5

f′(1.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² − 5 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² − 5x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₂⁸ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 8]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 5∠140° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 5θ = 140°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 5 dan w = 32∠90° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Cari bahagian nyata z₂.

w = 32∠90°n = 5k = 2

Re(z₂) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 4y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 1. Cari y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + y′ + 25.25y = 252.5 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1.5); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 25.25y = 252.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₂₂ (baris 2, lajur 2).

A = [−5 −4; 4 3]B = [−4 −2; −2 2]

c₂₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [−1 1; −5 5]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−6, 5, 4) dan b = (2, −2, −3), dalam darjah.

a = (−6, 5, 4)b = (2, −2, −3)

θ = °

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (0, 4, −1), b = (0, 4, 5) dan c = (−1, 5, 1).

a = (0, 4, −1)b = (0, 4, 5)c = (−1, 5, 1)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 7 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 7

P =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €30 dengan kebarangkalian 0.15 dan €200 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €10€30: p = 0.15€200: p = 0.05

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 44, 29, 29, 53, 11, 34, 25.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 20?

μ = 50σ = 15x = 20

P =

19.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 169.95 dan 185.35 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 169.95x₂ = 185.35

P =

20.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 40% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah40%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(−5 + (−1)/x² + (−3)/x³)/(1 + 6/x² + 1/x³)

Biarkan x → ∞

L = −5/1 = −5

Jawapan

L = −5

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 1.125

Penggunaan pertama

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

2.25·e^1.5x/2

Gantikan x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

Jawapan

L = 1.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(1.5) = 45.38

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Gantikan

f′(1.5) = 4.482·(6.75 + 3.375) = 45.38

Jawapan

f′(1.5) = 45.38

4.Terbitan

Jawapan: b = −17

Titik dan kecerunan

f(−2) = 7

f′(x) = 6x → f′(−2) = −12

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−12)·(−2) = −17

Jawapan

b = −17

5.Kamiran

Jawapan: I = 5.545

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 4·ln x

Nilaikan pada had

I = 4·(ln 8 − ln 2) = 4·ln 4 = 5.545

Jawapan

I = 5.545

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = −3.83

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 5·cos(140°) = −3.83

b = 5·sin(140°) = 3.214

Bentuk Cartes

z = −3.83 + j3.214

a = −3.83

Jawapan

a = −3.83

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z₂) = −1.902

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

32^1/5 = 2

Argumen punca

θ₂ = (90° + 360°·2)/5 = 162°

Bentuk Cartes

z₂ = 2·(cos 162° + j sin 162°) = −1.902 + j0.618

Re(z₂) = −1.902

Jawapan

Re(z₂) = −1.902

5 punca terletak pada bulatan berjejari 2, berjarak 72°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.1282

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 2)² = 0 → r = −2

Pemalar

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = 1 + 2 = 3

Nilaikan

y(2) = (1 + 3·2)·e⁻⁴ = 0.1282

Jawapan

y(2) = 0.1282

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 7.92

Nilai mantap dan punca

y_ss = 10, r = −0.5 ± 5j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0.5A + 5B = 0 → B = −1

Nilaikan

y(1.5) = 10·(1 − e^−0.75(cos 7.5 + 0.1·sin 7.5)) = 7.92

Jawapan

y(1.5) = 7.92

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₂₂ = −2

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₂₂ = 4·(−2) + 3·2 = −2

Jawapan

c₂₂ = −2

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 4

Persamaan cirian

λ² − (4)λ + (0) = 0

Selesaikan

λ = (4 ± √(16))/2 → λ = 0, 4

λ = 4

Jawapan

λ = 4

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 160 °

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−6)·2 + 5·(−2) + 4·(−3) = −34

Magnitud

|a| = √((−6)² + 5² + 4²) = 8.775

|b| = √(2² + (−2)² + (−3)²) = 4.123

Sudut

cos θ = −34/(8.775·4.123) = −0.9397

θ = arccos(−0.9397) = 160°

Jawapan

θ = 160°

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 24

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·1 − 5·5 = −21

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·(−1) − 0·1 = −5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·5 − 4·(−1) = 4

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 0·(−21) + 4·(−5) + (−1)·4 = −24

V = |−24| = 24

Jawapan

V = 24

15.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7209

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

Jawapan

P = 0.7209

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 4.5 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0.15), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)

Nilai jangkaan

E(G) = 20·0.15 + 190·0.05 − 10·0.8 = 4.5 €

Jawapan

E(G) = 4.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.52

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 225/7 = 32.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 11.86² + (−3.143)² + (−3.143)² + 20.86² + (−21.14)² + 1.857² + (−7.143)² = 1097

Sisihan piawai

s = √(1097/6) = 13.52

Jawapan

s = 13.52

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = −2

Jadual normal piawai

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7281

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15

z₂ = (185.35 − 178)/7 = 1.05

Luas antara

P = Φ(1.05) − Φ(−1.15) = 0.8531 − 0.1251 = 0.7281

Jawapan

P = 0.7281

20.Taburan normal

Jawapan: x = 62.5 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 65 − 0.25·10 = 62.5 markah

Jawapan

x = 62.5 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics