Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(9x² − 4x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 4x) − 3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (−2x − 3)⁴. Cari f′(−1).

f(x) = (−2x − 3)⁴x = −1

f′(−1) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 3x + 2. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 3x + 2

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 2∠70° dan z₂ = 2∠110°, cari argumen θ bagi w = z₁/z₂ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

z₁ = 2∠70°z₂ = 2∠110°

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Satu punca bagi z³ − 6z² + z + 34 = 0 ialah z₁ = 4 + j. Pekalinya nyata. Cari punca nyata r.

z₁ = 4 + j

r =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 94 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 22 °C. Selepas 7 min suhunya ialah 55 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 75 °C?

T₀ = 94 °CT_a = 22 °CT(7) = 55 °CT = 75 °C

t = min

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 2y = 7e^−3t dengan y(0) = 5. Cari y(1.5).

y′ + 2y = 7e^−3ty(0) = 5

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₁₁ (baris 1, lajur 1).

A = [−4 1; 5 3]B = [6 −6; −2 −2]

c₁₁ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 6x − 2y = −4 dan −x + y = 6. Cari x.

6x − 2y = −4−x + y = 6

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (4, 3, 2) dan b = (0, −6, k) berserenjang.

a = (4, 3, 2)b = (0, −6, k)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−1, 3, 0) dan b = (5, −1, −1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (−1, 3, 0)b = (5, −1, −1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 10 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 10p = 0.6k = 1

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 42, 40, 33, 38, 48, 52.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 66?

μ = 60σ = 10x = 66

P =

19.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya melebihi 196.8 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16> 196.8 kg

P =

20.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −0.6667

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −4x/(√(9x² − 4x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −4/(√(9 + (−4)/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = −4/(3 + 3) = −0.6667

Jawapan

L = −0.6667

2.Had

Jawapan: L = 1.125

Penggunaan pertama

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·cos 3x/8

Gantikan x = 0

L = 9/8 = 1.125

Jawapan

L = 1.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(−1) = 8

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 4·(−2x − 3)³·(−2)

Gantikan

f′(−1) = 4·(−1)³·(−2) = 8

Jawapan

f′(−1) = 8

4.Terbitan

Jawapan: x = 1

Terbitan

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

Jawapan

x = 1

5.Kamiran

Jawapan: I = 19.09

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^x/1

Nilaikan pada had

I = (e³ − 1)/1 = (20.09 − 1)/1 = 19.09

Jawapan

I = 19.09

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Titik persilangan

x² = 4x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = −40 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2 / 2 = 1

θ = 70° − 110° = −40°

Argumen

θ = −40°

Jawapan

θ = −40°

8.Nombor kompleks

Jawapan: r = −2

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = 4 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 1²) = z² − 8z + 17

Faktorkan kuadratik itu

z³ − 6z² + z + 34 = (z² − 8z + 17)(z + 2)

Punca nyata

r = −2

Jawapan

r = −2

Semak dengan hasil tambah punca: z₁ + z₂ + r = 8 + (−2) = 6 = −(−6).

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 2.749 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(72/33)/7 = 0.1115 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(72/53)/0.1115 = 2.749 min

Jawapan

t = 2.749 min

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.5197

Faktor pengamiran

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 7e^−t

Penyelesaian am

y = 7/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −7·e^−3t + C·e^−2t

Syarat awal

5 = −7 + C → C = 12

Nilaikan

y(1.5) = −7·0.01111 + 12·0.04979 = 0.5197

Jawapan

y(1.5) = 0.5197

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₁₁ = −26

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₁₁ = (−4)·6 + 1·(−2) = −26

Jawapan

c₁₁ = −26

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 2

Penentu matriks pekali

det A = 6·1 − (−2)·(−1) = 4

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−4)·1 − (−2)·6 = 8

x = 8/4 = 2

Jawapan

x = 2

y = 8

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 9

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 4·0 + 3·(−6) + 2·k = 0

−18 + 2·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−18)/2 = 9

Jawapan

k = 9

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = 0.06967

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−1) − 0·(−1) = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·5 − (−1)·(−1) = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−1) − 3·5 = −14

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−3)² + (−1)² + (−14)²) = 14.35

n̂ = −(−3, −1, −14)/14.35 = (0.209, 0.06967, 0.9754)

n̂_y = 0.06967

Jawapan

n̂_y = 0.06967

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 10.9

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.15 + 20·0.3 + 30·0.2 + 40·0.35 = 27.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.3 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 875

Varians

Var(X) = 875 − 27.5² = 118.8

σ = √118.8 = 10.9

Jawapan

σ = 10.9

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.001573

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 10·0.6¹·0.4⁹ = 10·0.6·0.0002621 = 0.001573

Jawapan

P = 0.001573

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 6.882

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 253/6 = 42.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−0.1667)² + (−2.167)² + (−9.167)² + (−4.167)² + 5.833² + 9.833² = 236.8

Sisihan piawai

s = √(236.8/5) = 6.882

Jawapan

s = 6.882

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7257

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

Jawapan

P = 0.7257

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.06681

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 192 kg, σ_T = 0.8·√16 = 3.2 kg

Piawaikan

z = (196.8 − 192)/3.2 = 1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

20.Taburan normal

Jawapan: x = 119.2 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 markah

Jawapan

x = 119.22 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics