Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(3x² + 5). Cari f′(1).

f(x) = ln(3x² + 5)x = 1

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 4.5x² + 6x + 2. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x + 2

x =

5.KamiranSederhana

Rantau di bawah y = x dari x = 0 ke x = 2 diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu V pepejal itu (kon).

y = x0 ≤ x ≤ 2

V =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 4∠40° dan z₂ = 1.5∠−25°, cari bahagian nyata w = z₁/z₂.

z₁ = 4∠40°z₂ = 1.5∠−25°

Re(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Satu punca bagi z³ + 5z² + 24z + 20 = 0 ialah z₁ = −2 + j4. Pekalinya nyata. Cari punca nyata r.

z₁ = −2 + j4

r =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 4. Cari y(1.5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(1.5) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 6 bagi x > 0, dengan y(1) = 1. Cari y(3).

y′ + 2y/x = 6y(1) = 1

y(3) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [1 1 −4; −2 5 4; 2 −3 0]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −6x − 5y = 10 dan −6x + 6y = 2. Cari x.

−6x − 5y = 10−6x + 6y = 2

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (−6, −1, 5) pada b = (−1, 5, 4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (−6, −1, 5)b = (−1, 5, 4)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−3, −3, −1), B(1, −1, −1) dan C(4, −2, −2). Koordinat dalam meter.

A(−3, −3, −1)B(1, −1, −1)C(4, −2, −2)

A = m²

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.2, 0.35, 0.1

σ =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 5X + 20

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 32, 45, 23, 47.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 34.

μ = 50σ = 8x = 34

z =

19.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 9 daripadanya melebihi 111.6 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9> 111.6 kg

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 20.09

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Buat songsangan logaritma

L = e³ = 20.09

Jawapan

L = 20.09

2.Had

Jawapan: L = 2

Penggunaan pertama

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

16·cos 4x/8

Gantikan x = 0

L = 16/8 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 0.75

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Gantikan

f′(1) = 6/8 = 0.75

Jawapan

f′(1) = 0.75

4.Terbitan

Jawapan: x = −2

Terbitan

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = −1

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 9: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

Jawapan

x = −2

5.Kamiran

Jawapan: V = 8.378

Isi padu kisaran: memutarkan rantau di bawah y = f(x) dari x = a ke x = b pada paksi-x menghasilkan pepejal yang keratan rentasnya pada x ialah cakera berjejari f(x). Menjumlahkan cakera itu memberikan V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Apabila rantau terletak antara lengkung luar R(x) dan lengkung dalam r(x), setiap hirisan ialah sesendal: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuasa duakan jejari sebelum anda menolaknya.

Kaedah cakera

V = π∫₀² 1x² dx

Kamirkan

V = π·1·2³/3 = 8.378

Jawapan

V = 8.378

Semakan: kon berjejari 2 dan tinggi 2 mempunyai (1/3)πr²h = 8.378.

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: Re(w) = 1.127

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 4 / 1.5 = 2.667

θ = 40° − (−25)° = 65°

Bentuk Cartes

Re(w) = 2.667·cos(65°) = 1.127

Im(w) = 2.667·sin(65°) = 2.417

Re(w) = 1.127

Jawapan

Re(w) = 1.127

8.Nombor kompleks

Jawapan: r = −1

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = −2 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 4²) = z² + 4z + 20

Faktorkan kuadratik itu

z³ + 5z² + 24z + 20 = (z² + 4z + 20)(z + 1)

Punca nyata

r = −1

Jawapan

r = −1

Semak dengan hasil tambah punca: z₁ + z₂ + r = −4 + (−1) = −5 = −(5).

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 3.012

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Pemalar

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 4 + 3 = 7

Nilaikan

y(1.5) = (3 + 7·1.5)·e^−1.5 = 3.012

Jawapan

y(1.5) = 3.012

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(3) = 5.889

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Kamirkan

(x²y)′ = 6x² → x²y = 6x³/3 + C

Syarat awal

1 = 6/3 + C → C = −1

Nilaikan

y(3) = (6·3³/3 + (−1))/3² = 5.889

Jawapan

y(3) = 5.889

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 36

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 12, M₁₂ = −8, M₁₃ = −4

Pengembangan kofaktor

det A = 1·12 − 1·(−8) + (−4)·(−4) = 36

Jawapan

det A = 36

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −1.061

Penentu matriks pekali

det A = (−6)·6 − (−5)·(−6) = −66

Gantikan lajur x

det Aₓ = 10·6 − (−5)·2 = 70

x = 70/(−66) = −1.061

Jawapan

x = −1.061

y = −0.7273

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 3.24

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−6)·(−1) + (−1)·5 + 5·4 = 21

Panjang b

|b| = √((−1)² + 5² + 4²) = 6.481

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 21/6.481 = 3.24

Jawapan

comp_b a = 3.24

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 5.477 m²

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (4, 2, 0)

AC = C − A = (7, 1, −1)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·(−1) − 0·1 = −2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·7 − 4·(−1) = 4

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 4·1 − 2·7 = −10

|AB × AC| = √((−2)² + 4² + (−10)²) = 10.95

Luas segi tiga

A = ½·10.95 = 5.477 m²

Jawapan

A = 5.477 m²

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 2.059

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.1 = 2.4

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.1 = 10

Varians

Var(X) = 10 − 2.4² = 4.24

σ = √4.24 = 2.059

Jawapan

σ = 2.059

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.023

Serakan X

μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

Perubahan linear

σ_Y = |5|·0.8047 = 4.023

Jawapan

σ_Y = 4.023

Min memang berubah: E(Y) = 5·1.05 + 20 = 25.25.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.23

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 196/5 = 39.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.8² + (−7.2)² + 5.8² + (−16.2)² + 7.8² = 504.8

Sisihan piawai

s = √(504.8/4) = 11.23

Jawapan

s = 11.23

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (34 − 50)/8 = −2

Jawapan

z = −2

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.06681

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 108 kg, σ_T = 0.8·√9 = 2.4 kg

Piawaikan

z = (111.6 − 108)/2.4 = 1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics