Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (2x − 3)³. Cari f′(2).

f(x) = (2x − 3)³x = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 2x² + 2x − 6 pada x = −2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x² + 2x − 6x = −2

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ e^−0.5x dx.

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 3∠150° dan z₂ = 0.5∠−50°, cari bahagian nyata w = z₁·z₂.

z₁ = 3∠150°z₂ = 0.5∠−50°

Re(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 6 dan w = 729∠0° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 5. Cari argumen z₅ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

w = 729∠0°n = 6k = 5

θ₅ = °

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 9y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = -2. Cari y(2).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + y′ + 25.25y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.25); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 25.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.25) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [1 0 −2; −3 4 5; 3 2 5]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −x − 4y = 9 dan −6x − 3y = −3. Cari x.

−x − 4y = 9−6x − 3y = −3

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (4, 2, −3) dan b = (−3, k, −1) berserenjang.

a = (4, 2, −3)b = (−3, k, −1)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (2, −1, −3) dan b = (−1, −1, 2) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-xnya n̂_x.

a = (2, −1, −3)b = (−1, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 8 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 8

P =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.3, 0.25Y = 5X + 20

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 30, 18, 30, 18, 23, 50.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 524?

μ = 500σ = 60x = 524

P =

19.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 100 dan 130 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 130

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.04 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.002479

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−2) = −6

Buat songsangan logaritma

L = e⁻⁶ = 0.002479

Jawapan

L = 0.002479

2.Had

Jawapan: L = 1.5

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

Gantikan x = 0

L = 3/2 = 1.5

Jawapan

L = 1.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 6

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(2x − 3)²·2

Gantikan

f′(2) = 3·1²·2 = 6

Jawapan

f′(2) = 6

4.Terbitan

Jawapan: b = −14

Titik dan kecerunan

f(−2) = −2

f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−6)·(−2) = −14

Jawapan

b = −14

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.7869

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

Nilaikan pada had

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

Jawapan

I = 0.7869

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Titik persilangan

x² = 2x → x = 0, x = 2

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

Jawapan

A = 1.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: Re(w) = −0.2605

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 3 · 0.5 = 1.5

θ = 150° + (−50)° = 100°

Bentuk Cartes

Re(w) = 1.5·cos(100°) = −0.2605

Im(w) = 1.5·sin(100°) = 1.477

Re(w) = −0.2605

Jawapan

Re(w) = −0.2605

8.Nombor kompleks

Jawapan: θ₅ = −60 °

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

729^1/6 = 3

Argumen punca

θ₅ = (0° + 360°·5)/6 = 300° → −60°

Argumen

θ₅ = −60°

Jawapan

θ₅ = −60°

6 punca terletak pada bulatan berjejari 3, berjarak 60°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.04214

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 3)² = 0 → r = −3

Pemalar

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 9 = 7

Nilaikan

y(2) = (3 + 7·2)·e⁻⁶ = 0.04214

Jawapan

y(2) = 0.04214

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.25) = 0.724

Punca kompleks

r = −0.5 ± 5j

Pemalar

A = 2, B = 0.5·2/5 = 0.2

Nilaikan

y(0.25) = e^−0.125(2·cos 1.25 + 0.2·sin 1.25) = 0.724

Jawapan

y(0.25) = 0.724

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 46

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 10, M₁₂ = −30, M₁₃ = −18

Pengembangan kofaktor

det A = 1·10 − 0·(−30) + (−2)·(−18) = 46

Jawapan

det A = 46

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 1.857

Penentu matriks pekali

det A = (−1)·(−3) − (−4)·(−6) = −21

Gantikan lajur x

det Aₓ = 9·(−3) − (−4)·(−3) = −39

x = −39/(−21) = 1.857

Jawapan

x = 1.857

y = −2.714

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 4.5

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 4·(−3) + 2·k + (−3)·(−1) = 0

−9 + 2·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−9)/2 = 4.5

Jawapan

k = 4.5

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_x = 0.8452

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·2 − (−3)·(−1) = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−1) − 2·2 = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−1) − (−1)·(−1) = −3

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−5)² + (−1)² + (−3)²) = 5.916

n̂ = −(−5, −1, −3)/5.916 = (0.8452, 0.169, 0.5071)

n̂_x = 0.8452

Jawapan

n̂_x = 0.8452

15.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7674

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

Jawapan

P = 0.7674

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 5.068

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.65, Var(X) = 1.028, σ_X = 1.014

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1.014 = 5.068

Jawapan

σ_Y = 5.068

Min memang berubah: E(Y) = 5·2.65 + 20 = 33.25.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.43

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 226/7 = 32.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 24.71² + (−2.286)² + (−14.29)² + (−2.286)² + (−14.29)² + (−9.286)² + 17.71² = 1429

Sisihan piawai

s = √(1429/6) = 15.43

Jawapan

s = 15.43

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6554

Piawaikan

z = 0.4

Jadual normal piawai

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

Jawapan

P = 0.6554

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4772

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(0) = 0.9772 − 0.5 = 0.4772

Jawapan

P = 0.4772

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9633

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

Jawapan

P = 0.9633

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics