Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(9x² + 9x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 9x) − 3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = x² + 2x + 3 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = x² + 2x + 3x = 1

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁³ x·ln x dx.

∫₁³ x ln x dx

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Cari argumen θ bagi z = 7 − j dalam darjah, sebagai nilai utama antara −180° dengan 180°.

z = 7 − j

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Selesaikan z² − 4z + 8 = 0. Puncanya ialah a ± jb; cari bahagian nyata a.

p = −4q = 8

a =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = -2. Cari y(1.5).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(1.5) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 100 L air yang di dalamnya terlarut 10 kg garam. Air garam dengan 0.05 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 10 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 5 min?

V = 100 Lm₀ = 10 kgc = 0.05 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [2 1 5; −5 −4 −3; 2 −4 2]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −5x + 6y = −3 dan −6x + 5y = −8. Cari x.

−5x + 6y = −3−6x + 5y = −8

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (1, 0, −4) pada b = (2, 5, 6), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (1, 0, −4)b = (2, 5, 6)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (2, −3, −5) dan b = (−2, 0, 1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (2, −3, −5)b = (−2, 0, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.35Y = 2X + 1

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 44, 59, 14, 60, 26.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 86?

μ = 70σ = 8x = 86

P =

19.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 70 dan 127.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 127.75

P =

20.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 1.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 9x/(√(9x² + 9x) + 3x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 9/(√(9 + 9/x) + 3)

Biarkan x → ∞

L = 9/(3 + 3) = 1.5

Jawapan

L = 1.5

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Penggunaan pertama

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·cos 2x/8

Gantikan x = 0

L = 4/8 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 0.077

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

Jawapan

f′(1) = 0.077

4.Terbitan

Jawapan: b = 2

Titik dan kecerunan

f(1) = 6

f′(x) = 2x + 2 → f′(1) = 4

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 4·1 = 2

Jawapan

b = 2

5.Kamiran

Jawapan: I = 2.944

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

Jawapan

I = 2.944

6.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = −8.13 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kuadran

a = 7, b = −1 → IV

Sudut rujukan

α = atan(1/7) = 8.13°

Argumen

θ = −α = −8.13°

Jawapan

θ = −8.13°

Dalam bentuk kutub z = 7.071∠−8.13°.

8.Nombor kompleks

Jawapan: a = 2

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 16 − 32 = −16 < 0

Rumus kuadratik

z = (4 ± j√16)/2 = 2 + j2, 2 − j2

Jawapan

a = 2

Jawapan

a = 2

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 1.283

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −1A − 5B = -2

A = 5.75, B = −0.75

Nilaikan

y(1.5) = 5.75·e^−1.5 + (−0.75)·e^−7.5 = 1.283

Jawapan

y(1.5) = 1.283

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 8.033 kg

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Sediakan persamaan

dm/dt = 10·0.05 − (10/100)·m = 0.5 − 0.1·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 5 + 5·e^−t/10

Gantikan t

m(5) = 5 + 5·0.6065 = 8.033 kg

Jawapan

m = 8.033 kg

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 104

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −20, M₁₂ = −4, M₁₃ = 28

Pengembangan kofaktor

det A = 2·(−20) − 1·(−4) + 5·28 = 104

Jawapan

det A = 104

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 3

Penentu matriks pekali

det A = (−5)·5 − 6·(−6) = 11

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−3)·5 − 6·(−8) = 33

x = 33/11 = 3

Jawapan

x = 3

y = 2

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = −2.729

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 1·2 + 0·5 + (−4)·6 = −22

Panjang b

|b| = √(2² + 5² + 6²) = 8.062

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = −22/8.062 = −2.729

Jawapan

comp_b a = −2.729

Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = −0.7663

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·1 − (−5)·0 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−2) − 2·1 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·0 − (−3)·(−2) = −6

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−3)² + 8² + (−6)²) = 10.44

n̂ = −(−3, 8, −6)/10.44 = (0.2873, −0.7663, 0.5747)

n̂_y = −0.7663

Jawapan

n̂_y = −0.7663

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.31

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.7

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.6

Varians

Var(X) = 8.6 − 2.7² = 1.31

Jawapan

Var(X) = 1.31

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.356

Serakan X

μ = 2.75, Var(X) = 1.387, σ_X = 1.178

Perubahan linear

σ_Y = |2|·1.178 = 2.356

Jawapan

σ_Y = 2.356

Min memang berubah: E(Y) = 2·2.75 + 1 = 6.5.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 20.29

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 203/5 = 40.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 3.4² + 18.4² + (−26.6)² + 19.4² + (−14.6)² = 1647

Sisihan piawai

s = √(1647/4) = 20.29

Jawapan

s = 20.29

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = 2

Jadual normal piawai

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9451

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

Luas antara

P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451

Jawapan

P = 0.9451

20.Taburan normal

Jawapan: x = 75.33 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 markah

Jawapan

x = 75.33 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics