Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Cari f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 3x² − 9x + 2. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 2

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Rajah menunjukkan z = 3 − j4. Dengan w = 2∠90°, klik titik yang mewakili z·w.

z = 3 − j4w = 2∠90°

1A (8 + j6)
2B (−8 − j6)
3C (4 + j3)
4D (6 − j8)

8.Nombor kompleksSukar

Selesaikan z² + 4z + 13 = 0. Puncanya ialah a ± jb; cari bahagian nyata a.

p = 4q = 13

a =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 8y′ + 15y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 4. Cari y(2).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(2) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + y′ + 9.25y = 46.25 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + y′ + 9.25y = 46.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₁₂ (baris 1, lajur 2).

A = [−1 5; 5 2]B = [−1 3; 2 2]

c₁₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −5x − 3y = −12 dan −6x + 5y = −8. Cari x.

−5x − 3y = −12−6x + 5y = −8

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (4, 1, 4) dan b = (0, 6, 4), dalam darjah.

a = (4, 1, 4)b = (0, 6, 4)

θ = °

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (4, −1, 5), b = (2, 4, −1) dan c = (0, 2, −5).

a = (4, −1, 5)b = (2, 4, −1)c = (0, 2, −5)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.25

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.05, 0.3Y = −2X + 1

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 25, 36, 18, 21.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 40?

μ = 60σ = 20x = 40

P =

19.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 245.25 dan 257.75 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 245.25x₂ = 257.75

P =

20.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.01832

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Buat songsangan logaritma

L = e⁻⁴ = 0.01832

Jawapan

L = 0.01832

2.Had

Jawapan: L = 4.5

Penggunaan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·e^3x/2

Gantikan x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

Jawapan

L = 4.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 1.382

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Gantikan

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

Jawapan

f′(1) = 1.382

4.Terbitan

Jawapan: x = −3

Terbitan

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 6: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Jawapan

x = −3

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.9502

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^−x/(−1)

Nilaikan pada had

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

Jawapan

I = 0.9502

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: A (8 + j6)

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kesan w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Titik itu

z·w = 8 + j6 → A

Jawapan

A (8 + j6)

8.Nombor kompleks

Jawapan: a = −2

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 16 − 52 = −36 < 0

Rumus kuadratik

z = (−4 ± j√36)/2 = −2 + j3, −2 − j3

Jawapan

a = −2

Jawapan

a = −2

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.02325

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 3, −3A − 5B = 4

A = 9.5, B = −6.5

Nilaikan

y(2) = 9.5·e⁻⁶ + (−6.5)·e⁻¹⁰ = 0.02325

Jawapan

y(2) = 0.02325

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 7.962

Nilai mantap dan punca

y_ss = 5, r = −0.5 ± 3j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.8333

Puncak

t = π/3 = 1.047

y_max = 5·(1 + e^−0.5·π/3) = 7.962

Jawapan

y_max = 7.962

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₁₂ = 7

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₁₂ = (−1)·3 + 5·2 = 7

Jawapan

c₁₂ = 7

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 1.953

Penentu matriks pekali

det A = (−5)·5 − (−3)·(−6) = −43

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−12)·5 − (−3)·(−8) = −84

x = −84/(−43) = 1.953

Jawapan

x = 1.953

y = 0.7442

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 57.92 °

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 4·0 + 1·6 + 4·4 = 22

Magnitud

|a| = √(4² + 1² + 4²) = 5.745

|b| = √(0² + 6² + 4²) = 7.211

Sudut

cos θ = 22/(5.745·7.211) = 0.5311

θ = arccos(0.5311) = 57.92°

Jawapan

θ = 57.92°

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 62

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−5) − (−1)·2 = −18

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·0 − 2·(−5) = 10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·2 − 4·0 = 4

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 4·(−18) + (−1)·10 + 5·4 = −62

V = |−62| = 62

Jawapan

V = 62

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 4.04

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.15 + 2·0.25 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3.4

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.15 + 4·0.25 + 16·0.35 + 36·0.25 = 15.6

Varians

Var(X) = 15.6 − 3.4² = 4.04

Jawapan

Var(X) = 4.04

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 3.219

Serakan X

μ = 1.9, Var(X) = 2.59, σ_X = 1.609

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1.609 = 3.219

Jawapan

σ_Y = 3.219

Min memang berubah: E(Y) = −2·1.9 + 1 = −2.8.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.257

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 111/5 = 22.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−11.2)² + 2.8² + 13.8² + (−4.2)² + (−1.2)² = 342.8

Sisihan piawai

s = √(342.8/4) = 9.257

Jawapan

s = 9.257

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7684

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (245.25 − 250)/5 = −0.95

z₂ = (257.75 − 250)/5 = 1.55

Luas antara

P = Φ(1.55) − Φ(−0.95) = 0.9394 − 0.1711 = 0.7684

Jawapan

P = 0.7684

20.Taburan normal

Jawapan: x = 169 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm

Jawapan

x = 169.03 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics