Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(x² + 5). Cari f′(2).

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 3x² + 3x − 6 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 3x² + 3x − 6x = 3

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Rajah menunjukkan z = −4 + j2. Dengan w = 0.5∠180°, klik titik yang mewakili z/w.

z = −4 + j2w = 0.5∠180°

1A (−8 + j4)
2B (4 − j2)
3C (2 − j)
4D (8 − j4)

8.Nombor kompleksSukar

Satu punca bagi z³ + 2z² − 3z − 10 = 0 ialah z₁ = −2 + j. Pekalinya nyata. Cari punca nyata r.

z₁ = −2 + j

r =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 480 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 28 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.02 min⁻¹, cari suhunya T selepas 18 min.

T₀ = 480 °CT_a = 28 °Ck = 0.02 min⁻¹t = 18 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 0.5y = 4e^−3t dengan y(0) = 4. Cari y(1.5).

y′ + 0.5y = 4e^−3ty(0) = 4

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−2 3 −4; 5 −3 −4; 0 4 4]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [4 2; 1 3]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (6, −3, −6) dan b = (0, 6, −6), dalam darjah.

a = (6, −3, −6)b = (0, 6, −6)

θ = °

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (1, −5, −2), b = (5, 2, −1) dan c = (2, 2, −4).

a = (1, −5, −2)b = (5, 2, −1)c = (2, 2, −4)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 8

P =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.1, 0.25Y = 3X + 20

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 19, 40, 14, 39, 10, 25.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 160?

μ = 170σ = 10x = 160

P =

19.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 78.25 dan 108.25 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 78.25x₂ = 108.25

P =

20.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = markah

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.1353

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Buat songsangan logaritma

L = e⁻² = 0.1353

Jawapan

L = 0.1353

2.Had

Jawapan: L = 1.25

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

Gantikan x = 0

L = 5/4 = 1.25

Jawapan

L = 1.25

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 0.4444

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Gantikan

f′(2) = 4/9 = 0.4444

Jawapan

f′(2) = 0.4444

4.Terbitan

Jawapan: b = −33

Titik dan kecerunan

f(3) = 30

f′(x) = 6x + 3 → f′(3) = 21

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 30 − 21·3 = −33

Jawapan

b = −33

5.Kamiran

Jawapan: I = 8.047

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 5·ln x

Nilaikan pada had

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8.047

Jawapan

I = 8.047

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: D (8 − j4)

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kesan w

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 180°

Titik itu

z/w = 8 − j4 → D

Jawapan

D (8 − j4)

8.Nombor kompleks

Jawapan: r = 2

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = −2 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 1²) = z² + 4z + 5

Faktorkan kuadratik itu

z³ + 2z² − 3z − 10 = (z² + 4z + 5)(z − 2)

Punca nyata

r = 2

Jawapan

r = 2

Semak dengan hasil tambah punca: z₁ + z₂ + r = −4 + 2 = −2 = −(2).

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 343.3 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 28 + 452·e^−0.02t

Gantikan t

T(18) = 28 + 452·0.6977 = 343.3 °C

Jawapan

T = 343.3 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 2.627

Faktor pengamiran

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 4e^−2.5t

Penyelesaian am

y = 4/(−2.5)·e^−3t + C·e^−0.5t = −1.6·e^−3t + C·e^−0.5t

Syarat awal

4 = −1.6 + C → C = 5.6

Nilaikan

y(1.5) = −1.6·0.01111 + 5.6·0.4724 = 2.627

Jawapan

y(1.5) = 2.627

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −148

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 4, M₁₂ = 20, M₁₃ = 20

Pengembangan kofaktor

det A = (−2)·4 − 3·20 + (−4)·20 = −148

Jawapan

det A = −148

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 5

Persamaan cirian

λ² − (7)λ + (10) = 0

Selesaikan

λ = (7 ± √(9))/2 → λ = 2, 5

λ = 5

Jawapan

λ = 5

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 76.37 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 6·0 + (−3)·6 + (−6)·(−6) = 18

Magnitud

|a| = √(6² + (−3)² + (−6)²) = 9

|b| = √(0² + 6² + (−6)²) = 8.485

Sudut

cos θ = 18/(9·8.485) = 0.2357

θ = arccos(0.2357) = 76.37°

Jawapan

θ = 76.37°

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 108

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·(−4) − (−1)·2 = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·2 − 5·(−4) = 18

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·2 − 2·2 = 6

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 1·(−6) + (−5)·18 + (−2)·6 = −108

V = |−108| = 108

Jawapan

V = 108

15.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.05455

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455

Jawapan

P = 0.05455

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.396

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.95, Var(X) = 2.147, σ_X = 1.465

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.465 = 4.396

Jawapan

σ_Y = 4.396

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.95 + 20 = 25.85.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.66

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 147/6 = 24.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−5.5)² + 15.5² + (−10.5)² + 14.5² + (−14.5)² + 0.5² = 801.5

Sisihan piawai

s = √(801.5/5) = 12.66

Jawapan

s = 12.66

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6353

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (78.25 − 100)/15 = −1.45

z₂ = (108.25 − 100)/15 = 0.55

Luas antara

P = Φ(0.55) − Φ(−1.45) = 0.7088 − 0.07353 = 0.6353

Jawapan

P = 0.6353

20.Taburan normal

Jawapan: x = 52.18 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 markah

Jawapan

x = 52.18 markah

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics