Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x³·e^x. Cari f′(2).

f(x) = x³·e^xx = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² + 2x − 4 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² + 2x − 4x = 3

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Diberi z₁ = 2∠70° dan z₂ = 1.5∠−140°, cari bahagian nyata w = z₁·z₂.

z₁ = 2∠70°z₂ = 1.5∠−140°

Re(w) =

8.Nombor kompleksSukar

Gunakan teorem De Moivre untuk mencari bahagian khayalan z⁶ bagi z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 6

Im(z⁶) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 400 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 28 °C. Selepas 18 min suhunya ialah 288 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 355 °C?

T₀ = 400 °CT_a = 28 °CT(18) = 288 °CT = 355 °C

t = min

10.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 100 L air yang di dalamnya terlarut 5 kg garam. Air garam dengan 0.1 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 10 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 10 min?

V = 100 Lm₀ = 5 kgc = 0.1 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₁₁ (baris 1, lajur 1).

A = [−4 6; 3 −5]B = [6 −6; 2 −6]

c₁₁ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 3x + 6y = 2 dan x − 4y = −4. Cari x.

3x + 6y = 2x − 4y = −4

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (15, −30, 15) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(5, 5, −1) ke titik B(2, 1, −1). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (15, −30, 15) NA(5, 5, −1) mB(2, 1, −1) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−10, 0, −20) N bertindak pada titik A(2, 4, 3). Koordinat dalam meter. Cari komponen-z M_z momen daya terhadap titik O(−3, 0, 3).

F = (−10, 0, −20) NA(2, 4, 3) mO(−3, 0, 3) m

M_z = N·m

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.05, 0.3

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €8 dengan kebarangkalian 0.15 dan €20 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€8: p = 0.15€20: p = 0.02

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 36, 44, 20, 57, 48, 50.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 60?

μ = 100σ = 20x = 60

P =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9756. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9756

z =

20.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Jawapan

L = 4

2.Had

Jawapan: L = 4.5

Penggunaan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·e^3x/2

Gantikan x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

Jawapan

L = 4.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 147.8

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Gantikan

f′(2) = 7.389·(12 + 8) = 147.8

Jawapan

f′(2) = 147.8

4.Terbitan

Jawapan: b = −8.5

Titik dan kecerunan

f(3) = 6.5

f′(x) = x + 2 → f′(3) = 5

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6.5 − 5·3 = −8.5

Jawapan

b = −8.5

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.6363

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiterbitan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Had

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363

Jawapan

I = 0.6363

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: Re(w) = 1.026

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2 · 1.5 = 3

θ = 70° + (−140)° = −70°

Bentuk Cartes

Re(w) = 3·cos(−70°) = 1.026

Im(w) = 3·sin(−70°) = −2.819

Re(w) = 1.026

Jawapan

Re(w) = 1.026

8.Nombor kompleks

Jawapan: Im(z⁶) = −512

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

De Moivre

z⁶ = (2√2)⁶∠270° = 512∠−90°

Bentuk Cartes

z⁶ = 512·(cos −90° + j sin −90°) = −j512

Im(z⁶) = −512

Jawapan

Im(z⁶) = −512

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 6.479 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(372/260)/18 = 0.0199 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(372/327)/0.0199 = 6.479 min

Jawapan

t = 6.479 min

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 8.161 kg

Sediakan persamaan

dm/dt = 10·0.1 − (10/100)·m = 1 − 0.1·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/10

Gantikan t

m(10) = 10 + (−5)·0.3679 = 8.161 kg

Jawapan

m = 8.161 kg

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₁₁ = −12

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₁₁ = (−4)·6 + 6·2 = −12

Jawapan

c₁₁ = −12

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −0.8889

Penentu matriks pekali

det A = 3·(−4) − 6·1 = −18

Gantikan lajur x

det Aₓ = 2·(−4) − 6·(−4) = 16

x = 16/(−18) = −0.8889

Jawapan

x = −0.8889

y = 0.7778

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 75 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (2, 1, −1) − (5, 5, −1) = (−3, −4, 0) m

Kerja

W = F·d = 15·(−3) + (−30)·(−4) + 15·0 = 75 J

Jawapan

W = 75 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: M_z = 40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (2, 4, 3) − (−3, 0, 3) = (5, 4, 0) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·(−20) − 0·0 = −80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−10) − 5·(−20) = 100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 5·0 − 4·(−10) = 40 N·m

Komponen yang diminta

M_z = 40 N·m

Jawapan

M_z = 40 N·m

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.428

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2.35

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.95

Varians

Var(X) = 6.95 − 2.35² = 1.428

Jawapan

Var(X) = 1.428

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.4 €

Hasil bersih

G: 6 (p = 0.15), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.83)

Nilai jangkaan

E(G) = 6·0.15 + 18·0.02 − 2·0.83 = −0.4 €

Jawapan

E(G) = −0.4 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.96

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 294/7 = 42

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−6)² + 2² + (−22)² + 15² + 6² + 8² = 858

Sisihan piawai

s = √(858/6) = 11.96

Jawapan

s = 11.96

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = −2

Jadual normal piawai

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

19.Taburan normal

Jawapan: z = −1.97

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.9756 = 0.0244

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.0244 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.97

Jawapan

z = −1.97

20.Taburan normal

Jawapan: x = 565.8 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

Jawapan

x = 565.8 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics