Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² + 6x) − x).

f(x) = √(x² + 6x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x²·e^−0.5x. Cari f′(0.5).

f(x) = x²·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ + 1.5x² − 6x − 2. Cari koordinat-x x bagi maksimum setempat.

f(x) = x³ + 1.5x² − 6x − 2

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀¹ e^0.5x dx.

f(x) = e^0.5x[0, 1]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 2x² dan y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Cari argumen θ bagi z = −7 + j2 dalam darjah, sebagai nilai utama antara −180° dengan 180°.

z = −7 + j2

θ = °

8.Nombor kompleksSukar

Cari bahagian nyata (−3 − j2)⁵.

z = −3 − j2n = 5

Re(z⁵) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 87 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 18 °C. Selepas 8 min suhunya ialah 44 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 87 °CT_a = 18 °CT(8) = 44 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = 5x² bagi x > 0, dengan y(1) = 5. Cari y(3).

y′ + 3y/x = 5x²y(1) = 5

y(3) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [2 −3 3; 0 1 4; −2 −2 5]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 −4; −1 5]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (−10, −20, 20) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(2, −3, −4) ke titik B(−3, 0, 0). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (−10, −20, 20) NA(2, −3, −4) mB(−3, 0, 0) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (3, 1, −4) dan b = (−2, 2, −1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (3, 1, −4)b = (−2, 2, −1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.3

σ =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.3, 0.3, 0.3Y = 10X − 3

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 31, 28, 47, 46, 38, 11, 47.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 164?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.7373. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.7373

z =

20.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 250σ = 5P = 97.5%

x = g

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 3

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = 6x/(√(x² + 6x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Jawapan

L = 3

2.Had

Jawapan: L = 4.5

Penggunaan pertama

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

9·e^3x/2

Gantikan x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

Jawapan

L = 4.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(0.5) = 0.6815

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(2x + (−0.5)·x²)

Gantikan

f′(0.5) = 0.7788·(1 + (−0.125)) = 0.6815

Jawapan

f′(0.5) = 0.6815

4.Terbitan

Jawapan: x = −2

Terbitan

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = 1

Yang mana satu

f″(x) = 6x + 3: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

Jawapan

x = −2

5.Kamiran

Jawapan: I = 1.297

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^0.5x/0.5

Nilaikan pada had

I = (e^0.5 − 1)/0.5 = (1.649 − 1)/0.5 = 1.297

Jawapan

I = 1.297

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.125

Titik persilangan

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

Kamirkan atas tolak bawah

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

Jawapan

A = 1.125

7.Nombor kompleks

Jawapan: θ = 164.1 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Kuadran

a = −7, b = 2 → II

Sudut rujukan

α = atan(2/7) = 15.95°

Argumen

θ = 180° − α = 164.1°

Jawapan

θ = 164.1°

Dalam bentuk kutub z = 7.28∠164.1°.

8.Nombor kompleks

Jawapan: Re(z⁵) = 597

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Kuasa langkah demi langkah

z² = (−3 − j2)(−3 − j2) = 5 + j12

z³ = (5 + j12)(−3 − j2) = 9 − j46

z⁴ = (9 − j46)(−3 − j2) = −119 + j120

z⁵ = (−119 + j120)(−3 − j2) = 597 − j122

Semak dengan De Moivre

z = 3.606∠−146.3° → z⁵ = 609.3∠−11.55°

Re(z⁵) = 597

Jawapan

Re(z⁵) = 597

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.122 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−8k = 26/69

Selesaikan untuk k

k = ln(69/26)/8 = 0.122 min⁻¹

Jawapan

k = 0.122 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(3) = 22.65

Faktor pengamiran

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Kamirkan

(x³y)′ = 5x⁵ → x³y = 5x⁶/6 + C

Syarat awal

5 = 5/6 + C → C = 4.167

Nilaikan

y(3) = (5·3⁶/6 + 4.167)/3³ = 22.65

Jawapan

y(3) = 22.65

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 56

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 13, M₁₂ = 8, M₁₃ = 2

Pengembangan kofaktor

det A = 2·13 − (−3)·8 + 3·2 = 56

Jawapan

det A = 56

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 6

Persamaan cirian

λ² − (7)λ + (6) = 0

Selesaikan

λ = (7 ± √(25))/2 → λ = 1, 6

λ = 6

Jawapan

λ = 6

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 70 J

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (−3, 0, 0) − (2, −3, −4) = (−5, 3, 4) m

Kerja

W = F·d = (−10)·(−5) + (−20)·3 + 20·4 = 70 J

Jawapan

W = 70 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = 0.7191

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−1) − (−4)·2 = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−2) − 3·(−1) = 11

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·2 − 1·(−2) = 8

Normalkan

Komponen-z bagi a × b sudah positif.

|a × b| = √(7² + 11² + 8²) = 15.3

n̂ = (7, 11, 8)/15.3 = (0.4576, 0.7191, 0.523)

n̂_y = 0.7191

Jawapan

n̂_y = 0.7191

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.043

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.75

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.65

Varians

Var(X) = 8.65 − 2.75² = 1.087

σ = √1.087 = 1.043

Jawapan

σ = 1.043

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 9.798

Serakan X

μ = 1.8, Var(X) = 0.96, σ_X = 0.9798

Perubahan linear

σ_Y = |10|·0.9798 = 9.798

Jawapan

σ_Y = 9.798

Min memang berubah: E(Y) = 10·1.8 − 3 = 15.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.28

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 248/7 = 35.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−4.429)² + (−7.429)² + 11.57² + 10.57² + 2.571² + (−24.43)² + 11.57² = 1058

Sisihan piawai

s = √(1058/6) = 13.28

Jawapan

s = 13.28

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6915

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915

19.Taburan normal

Jawapan: z = 1.12

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.7373)/2 = 0.8686

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8686 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.12

Jawapan

z = 1.12

20.Taburan normal

Jawapan: x = 259.8 g

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g

Jawapan

x = 259.8 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics