Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x).

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(5x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(5x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (3x − 1)³. Cari f′(1).

f(x) = (3x − 1)³x = 1

f′(1) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 2x² − 5x + 1 pada x = 1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 2x² − 5x + 1x = 1

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 12∠−20° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian khayalan b.

r = 12θ = −20°

b =

8.Nombor kompleksSukar

Punca bagi zⁿ = w dengan n = 3 dan w = 8∠60° ialah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Cari argumen z₁ dalam darjah, antara −180° dengan 180°.

w = 8∠60°n = 3k = 1

θ₁ = °

9.Persamaan pembezaanSederhana

Secawan kopi pada 86 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 24 °C. Selepas 30 min suhunya ialah 32 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 86 °CT_a = 24 °CT(30) = 32 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 2y = 6e^−0.5t dengan y(0) = 4. Cari y(1.5).

y′ + 2y = 6e^−0.5ty(0) = 4

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [2 0 −2; 0 −4 −2; 0 −1 −4]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem −6x + y = 12 dan 4x + 2y = 10. Cari x.

−6x + y = 124x + 2y = 10

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (−2, 6, −6) dan b = (−7, −3, −3).

a = (−2, 6, −6)b = (−7, −3, −3)

a·b =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−1, 5, −3) dan b = (−4, −1, −3) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-xnya n̂_x.

a = (−1, 5, −3)b = (−4, −1, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 4. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.05, 0.25Y = −2X + 4

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 13, 28, 49, 30, 52, 21, 30.

n = 7

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 56?

μ = 50σ = 15x = 56

P =

19.Taburan normalSederhana

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya melebihi 475.8 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 475.8 g

P =

20.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −10/(1 + 1) = −5

Jawapan

L = −5

2.Had

Jawapan: L = 0.8

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[5·cos 5x]

Gantikan x = 0

L = 4/5 = 0.8

Jawapan

L = 0.8

3.Terbitan

Jawapan: f′(1) = 36

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 3·(3x − 1)²·3

Gantikan

f′(1) = 3·2²·3 = 36

Jawapan

f′(1) = 36

4.Terbitan

Jawapan: b = −1

Titik dan kecerunan

f(1) = −2

f′(x) = 4x − 5 → f′(1) = −1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−1)·1 = −1

Jawapan

b = −1

5.Kamiran

Jawapan: I = 156

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Jawapan

I = 156

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: b = −4.104

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 12·cos(−20°) = 11.28

b = 12·sin(−20°) = −4.104

Bentuk Cartes

z = 11.28 − j4.104

b = −4.104

Jawapan

b = −4.104

8.Nombor kompleks

Jawapan: θ₁ = 140 °

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus punca-punca

8^1/3 = 2

Argumen punca

θ₁ = (60° + 360°·1)/3 = 140°

Argumen

θ₁ = 140°

Jawapan

θ₁ = 140°

3 punca terletak pada bulatan berjejari 2, berjarak 120°.

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.06826 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−30k = 8/62

Selesaikan untuk k

k = ln(62/8)/30 = 0.06826 min⁻¹

Jawapan

k = 0.06826 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 1.889

Faktor pengamiran

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 6e^1.5t

Penyelesaian am

y = 6/1.5·e^−0.5t + C·e^−2t = 4·e^−0.5t + C·e^−2t

Syarat awal

4 = 4 + C → C = 0

Nilaikan

y(1.5) = 4·0.4724 + 0·0.04979 = 1.889

Jawapan

y(1.5) = 1.889

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 28

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 14, M₁₂ = 0, M₁₃ = 0

Pengembangan kofaktor

det A = 2·14 − 0·0 + (−2)·0 = 28

Jawapan

det A = 28

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −0.875

Penentu matriks pekali

det A = (−6)·2 − 1·4 = −16

Gantikan lajur x

det Aₓ = 12·2 − 1·10 = 14

x = 14/(−16) = −0.875

Jawapan

x = −0.875

y = 6.75

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = 14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = (−2)·(−7) + 6·(−3) + (−6)·(−3) = 14 + (−18) + 18 = 14

Jawapan

a·b = 14

Positif: sudut antara vektor kurang daripada 90°.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_x = −0.6189

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−3) − (−3)·(−1) = −18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−4) − (−1)·(−3) = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−1) − 5·(−4) = 21

Normalkan

Komponen-z bagi a × b sudah positif.

|a × b| = √((−18)² + 9² + 21²) = 29.09

n̂ = (−18, 9, 21)/29.09 = (−0.6189, 0.3094, 0.722)

n̂_x = −0.6189

Jawapan

n̂_x = −0.6189

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 4.2

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.2 = 3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.2 = 13.2

Varians

Var(X) = 13.2 − 3² = 4.2

Jawapan

Var(X) = 4.2

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.931

Serakan X

μ = 1.95, Var(X) = 2.148, σ_X = 1.465

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1.465 = 2.931

Jawapan

σ_Y = 2.931

Min memang berubah: E(Y) = −2·1.95 + 4 = 0.1.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.11

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 223/7 = 31.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−18.86)² + (−3.857)² + 17.14² + (−1.857)² + 20.14² + (−10.86)² + (−1.857)² = 1195

Sisihan piawai

s = √(1195/6) = 14.11

Jawapan

s = 14.11

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3446

Piawaikan

z = 0.4

Jadual normal piawai

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

Jawapan

P = 0.3446

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8438

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

Piawaikan

z = (475.8 − 480)/4.157 = −1.01

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

Jawapan

P = 0.8438

20.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8264

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

Jawapan

P = 0.8264

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics