Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (2x³ + x + 7)/(5x³ + 6x + 2).

f(x) = (2x³ + x + 7)/(5x³ + 6x + 2)x → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = (3x + 3)⁴. Cari f′(0).

f(x) = (3x + 3)⁴x = 0

f′(0) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 9x² + 15x + 2. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 2

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁⁵ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 5]

I =

6.KamiranSukar

Nilaikan I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx.

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.Nombor kompleksSederhana

Nombor z = 6·e^−j0.5 mempunyai sudutnya dalam radian. Cari bahagian nyatanya a.

r = 6θ = −0.5 rad

a =

8.Nombor kompleksSukar

Selesaikan z² + 2z + 3.25 = 0. Puncanya ialah a ± jb; cari b > 0.

p = 2q = 3.25

b =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sekaleng minuman bergas pada 5 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 28 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.1 min⁻¹, cari suhunya T selepas 15 min.

T₀ = 5 °CT_a = 28 °Ck = 0.1 min⁻¹t = 15 min

T = °C

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 0.5y = 10e^−2t dengan y(0) = 4. Cari y(1.5).

y′ + 0.5y = 10e^−2ty(0) = 4

y(1.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [5 −2 −2; −4 0 −1; 3 −4 −1]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 5x + 4y = 5 dan −4x + y = 6. Cari x.

5x + 4y = 5−4x + y = 6

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (0, −4, 4) dan b = (−5, −3, k) berserenjang.

a = (0, −4, 4)b = (−5, −3, k)

k =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−5, −1, −3), b = (−2, −2, −5) dan c = (2, −4, 3).

a = (−5, −1, −3)b = (−2, −2, −5)c = (2, −4, 3)

V =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.15, 0.15, 0.35, 0.15

σ =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €9 dengan kebarangkalian 0.2 dan €60 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€9: p = 0.2€60: p = 0.05

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 31, 15, 57, 14, 46.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 66.25.

μ = 60σ = 5x = 66.25

z =

19.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 240 dan 252.5 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 252.5

P =

20.Taburan normalSukar

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.4

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Bahagikan dengan kuasa tertinggi

(2 + 1/x² + 7/x³)/(5 + 6/x² + 2/x³)

Biarkan x → ∞

L = 2/5 = 0.4

Jawapan

L = 0.4

Bagi darjah yang sama, had ialah nisbah pekali pendahulu.

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Penggunaan pertama

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

1·e^x/2

Gantikan x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(0) = 324

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai

f′(x) = 4·(3x + 3)³·3

Gantikan

f′(0) = 4·3³·3 = 324

Jawapan

f′(0) = 324

4.Terbitan

Jawapan: x = 5

Terbitan

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 5

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 18: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

Jawapan

x = 5

5.Kamiran

Jawapan: I = 1.609

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = ln x

Nilaikan pada had

I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1.609

Jawapan

I = 1.609

6.Kamiran

Jawapan: I = 37.59

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pusingan pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Pusingan kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Had

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

Jawapan

I = 37.59

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = 5.265

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Rumus Euler

z = 6·(cos −0.5 + j sin −0.5)

Komponen (radian)

a = 6·cos −0.5 = 5.265

b = 6·sin −0.5 = −2.877

a = 5.265

Jawapan

a = 5.265

8.Nombor kompleks

Jawapan: b = 1.5

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pembezalayan

p² − 4q = 4 − 13 = −9 < 0

Rumus kuadratik

z = (−2 ± j√9)/2 = −1 + j1.5, −1 − j1.5

Jawapan

b = 1.5

Jawapan

b = 1.5

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: T = 22.87 °C

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum penyejukan

T(t) = 28 + (−23)·e^−0.1t

Gantikan t

T(15) = 28 + (−23)·0.2231 = 22.87 °C

Jawapan

T = 22.87 °C

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 4.707

Faktor pengamiran

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 10e^−1.5t

Penyelesaian am

y = 10/(−1.5)·e^−2t + C·e^−0.5t = −6.667·e^−2t + C·e^−0.5t

Syarat awal

4 = −6.667 + C → C = 10.67

Nilaikan

y(1.5) = −6.667·0.04979 + 10.67·0.4724 = 4.707

Jawapan

y(1.5) = 4.707

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −38

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −4, M₁₂ = 7, M₁₃ = 16

Pengembangan kofaktor

det A = 5·(−4) − (−2)·7 + (−2)·16 = −38

Jawapan

det A = −38

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = −0.9048

Penentu matriks pekali

det A = 5·1 − 4·(−4) = 21

Gantikan lajur x

det Aₓ = 5·1 − 4·6 = −19

x = −19/21 = −0.9048

Jawapan

x = −0.9048

y = 2.381

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 0·(−5) + (−4)·(−3) + 4·k = 0

12 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −12/4 = −3

Jawapan

k = −3

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 98

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·3 − (−5)·(−4) = −26

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·2 − (−2)·3 = −4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·(−4) − (−2)·2 = 12

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−5)·(−26) + (−1)·(−4) + (−3)·12 = 98

V = |98| = 98

Jawapan

V = 98

15.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.375

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.35 + 4·0.15 = 2.1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.35 + 16·0.15 = 6.3

Varians

Var(X) = 6.3 − 2.1² = 1.89

σ = √1.89 = 1.375

Jawapan

σ = 1.375

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1.8 €

Hasil bersih

G: 6 (p = 0.2), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)

Nilai jangkaan

E(G) = 6·0.2 + 57·0.05 − 3·0.75 = 1.8 €

Jawapan

E(G) = 1.8 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.36

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 213/6 = 35.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.5² + (−4.5)² + (−20.5)² + 21.5² + (−21.5)² + 10.5² = 1686

Sisihan piawai

s = √(1686/5) = 18.36

Jawapan

s = 18.36

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (66.25 − 60)/5 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6687

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−2) = 0.6915 − 0.02275 = 0.6687

Jawapan

P = 0.6687

20.Taburan normal

Jawapan: x = 22.13 min

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min

Jawapan

x = 22.13 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics